《高等数教学课件》9-1.ppt

第九章 第一节 例2. 讨论函数 3. 多元函数的极限 作 业 备用题 2. 证明 * 目录 上页 下页 返回 结束 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第九章 一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 目的要求：了解多元函数基本概念，会求函数的 定义域，会求简单的多元函数的极限，知道极限 不存在的说明方法； 一、 平面点集 1.平面点集的有关概念 二维空间： 二元有序实数组(x,y)的全体, 即： 记作： 注 二维空间的几何意义—坐标平面 二维空间的元素— 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P} (1) (2) 注 或 例 第一象限内的点 n维空间中的点集： 记作： (1) y轴上的点 (2) (3) 单位圆内的点 n维空间： n元有序实数组的全体构成的集合, 即： n维空间中的元素： 或 中的一个点或一个n维向量 中的任一子集 2. 邻域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 3. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既有属于 E的点也有不属于 E的点 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 注： E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 但非区域 . ? 对点集 D , 若存在正数 r , 使一切点 P?D 与定点 O 的距离 ?OP? r , 则称 D 为有界集 , 界集 . 否则称为无 二、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 二元函数的定义 的一个非空子集, 设D是 称映射 为定义在D 上的 二元函数 , 记为 f ( D ) 因变量 自变量 定义域 值域 注 （2） 注意符号f 和f (x,y)的区别. （3） 表示函数的记号可以任意选取. （1） 二元函数也常记作： n元函数的定义 把二元函数定义中的平面点集D换成n维空间 的点集D，映射f:D→R就称为定义在D上的n元函数. 定义1 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集 称为二元函数的图形. M 二元函数的图形通常是一张曲面. x o y z 二元函数的图形 二元函数的定义域 使算式有意义的点的集合. 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 三、多元函数的极限 也记作： 记作: 定义2 设二元函数 常数 A 为函数 是D的聚点, 若存在常数 A , 都有 对任意给定的正数 ? , 的定义域为D, 总存在正数? , 使得当点 时, 成立，那么就称 当 时的极限, 或 或 注 二元函数的极限也称二重极限. 定义中P?P0的方式是任意的。 （一）多元函数极限的定义 例1. 求证: 证: 故 总有 要证 ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极