《管理运筹学10-服务系统规划.ppt

第11章 排 队 论 *  二、 M/D/1系统 该系统对各顾客服务时间相互独立且为同一个常数?， 故有 E(?) = ? = 1 μ 例8 某检测站有一台自动检测机器性能的仪器，检测每台 机器都需6分钟。送检机器按泊松分布到达，平均每小时4台。 试求该系统的主要工作指标。 D(?) = 0 (=σ2) (11-54) Lq= ρ 2(1 -ρ) 2 第11章 排 队 论 * λ= 4台/小时 μ= 6分钟/台 = 0.1小时/台 σ2 = 0， L = Lq+ρ= 2/15 + 0.4 = 8/15(台) Wq = Lq/? = 2/4(15) = 1/30(小时) = 2(分钟) W = Wq+ 1/μ= 2 + 6 = 8(分钟) 0.42 2(1- 0.4) Lq = = 2/15(台) λ μ ρ= = 4(0.1) = 0.4 解 第11章 排 队 论 * 该系统对任一顾客的服务时间 V～Ek(μ)，有 E(V) = 1/μ， D(V) = 1/kμ2 (=σ2 ) 三、M/Ek/1系统 (11-55) ρ + λ kμ 2(1 -ρ) L q = 2 2 2 = (k+1) ρ 2k ( 1 -ρ) 2 第11章 排 队 论 * 例9 一个质量检查员平均每小时收到两件送来检查的 样品，每件样品要一次完成5项检验才能判断是否合格。据 统计，每项检验所需时间的期望值都是4分钟，每项检验的 时间和送检产品到到达间隔都为指数分布。问一件样品从 送到至检查完毕预期要多少时间？ 解 λ= 2 件/小时 k = 5 μ 1/(5 ) = 4 (分钟/件) μ E(Vi) = 1/(k )， i = 1，2，3，4，5 1/μ= 20 (分钟/件) = 1/3 (小时/件) 由 有 则 第11章 排 队 论 * ρ= λ/μ= 2(1/3) = 2/3 Lq = Wq = Lq/λ= 4/5/2 = 2/5 (小时) W = Wq + 1/μ= 2/5 + 1/3 = 11/15 (小时) = 44 (分钟) (5+1 )(2/3)2 2×5(1 - 2/3) = 4 5 (件) 第11章 排 队 论 * c1—— 当μ= 1时 服务系统单位时间的平均费用 cw —— 平均每个顾客在系统逗留单位时间的损失 y —— 整个系统单位时间的平均总费用 其中c1 ，cw可知，目标函数为 y = c1μ + cwL 11.3.2 排队系统的优化设计 一、M/M/1/∞系统的最优平均服务率μ * 设 (11-56) 将 L =λ/（μ-λ）代入上式，得 y = c1μ + cwλ/（μ -λ） 求导,得 dy d μ = c1 -cwλ 1 （μ-λ）2 第11章 排 队 论 * 解得驻点 (11-57) 又由 dy d μ = 2cwλ （μ-λ）3 0 （因μλ） 知：μ*为（λ，∞ ）上的全局唯一极小点；代入(11-56)得 (11-58) μ* = λ+ √cwλ/c1 y* = c1λ+ 2√c1cwλ 另若cw —— 平均每个顾客在系统等待单位时间的损失，则 (11-56)中的L需用 λ2 μ(μ-λ) Lq = 代替； 这时μ* 不宜用解析公式表示，可用 非线性规划 的 数值法 求解。 第11章 排 队 论 * 设目标函数为 f(s)= c2s + cwL(s) 其中： s —— 并联服务台的个数(待定) f(s) —— 整个系统单位时间的平均总费用 c2 —— 单位时间内平均每个服务台的费用 cw —— 平均每个顾客在系统中逗留(等待)单位时间的损失 L(s) —— 平均队长(或平均等待队长) 要确定最优服务台数 s*∈ { 1，2，… } ，使 由于s取值离散，故只能采用差分法。 二、M/M/s/∞系统的最优服务台数s* (11-59) s f(s*)= min f(s)= c2s + cwL(s) 第11章 排 队 论 * 显然有 f(s*)≤ f(s* -1) f(s*)≤ f(s*+1) 将(11-59)