《线性代数与空间解析几》4.3.pptVIP

若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本身，秩 = 向量个数. 定理1 若 定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩. 定理2的证明——求向量组的秩和最大无关组的方法. 向量组与其任一最大无关组等价； 两向量组秩的关系： 例6 设A, B分别为m×r, r ×n矩阵，证明 R(AB)≤min{R(A), R(B)}. 二、Rn的基、维数与坐标 ?? ? Rn, ?1, ?2, …, ?n为一组基， 返回 返回 4.3 向量组的秩与最大无关组 一、向量组的秩与最大无关组的概念 二、Rn 的基、维数与坐标 返回 一、向量组的秩与最大无关组的概念 例1 ?1 =(1,0,1), ?2 =(1,-1,1), ?3 =(2,0,2) 。 ?1, ?2, ?3 线性相关. ?1, ?2 线性无关； ?2 ，?3 线性无关， 最大无关组 定义 设向量组T满足 1o 在T中有r 个向量?1, ?2, …, ?r 线性无关； 2o T中任意r + 1个向量都线性相关； 则称?1, ?2, …, ?r 是向量组T的一个最大无关组，数 r 为向量组T的秩. 最大无关组一般不惟一，秩是惟一的. 向量组线性无关(相关) ?  向量组的秩 = ()向量组所含向量个数. 例2 Rn 的秩为 n, 且任意 n 个线性无关的 n 维向量均为Rn 的一个最大无关组. 矩阵A的列秩：A的列向量组的秩； 矩阵A的行秩：A的行向量组的秩. 则A的任意 k个(1≤k≤n) 个列向量与B的对应 k 个列向量有相同的线性相关性. 任取A的k个列向量所得 Ak X=0与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性. 证 证 设 R(A) = r, B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在的r 个列向量线性无关， 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？ 为什么？ A中与B的这 r 个列向量相对应的r 个列向量也是A的列向量组的最大无关组. 故 A 的列秩等于 r . 同理，由R(A) = R(AT), 及A的行向量即 AT 的列向量，可得A的行秩等于 r . 例3 求向量组 ?1=(1,2,0,3), ?2 =(2,-1,3,1), ?3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性. 解 A=(?1T, ?2T, ?3T) 所以,秩(?1, ?2, ?3) = 2 ?1, ?2 ,?3 线性相关. 3, ?1, ?2为一个最大无关组. 例4 求向量组 ?1=(1,2,0,3), ?2 =(2,-1,3,0), ?3 =(4,-7,9,-3) 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出. 解 A=(?1T, ?2T, ?3T) 例5 求向量组 ?1=(2,4,2), ?2 =(1,1,0), ?3 =(2,3,1), ?4 =(3,5,2) 的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出. 解 A=(?1T, ?2T, ?3T, ?4T) 所以, 秩(?1, ?2, ?3 , ?4)=2 一向量组的任两个最大无关组等价； 一向量组的任两个最大无关组所含向量个数相等，其个数都等于向量组的秩. 定理3 若向量组?1, ?2, …, ?r 可由?1, ?2 , …, ?s线性表出， 且?1, ?2, …, ?r 线性无关，则 r≤s. 证 为便于书写，不妨设向量均为列向量，设 A =(?1, ?2, …, ?r ), B = (?1, ?2 , …, ?s), 因?1, ?2, …, ?r 可由?1, ?2 , …, ?s线性表出,所以存在 K =(kij )s×r = (?1, ?2 , …, ?r), 使得 A=BK. x1 ?1+ x2 ?2 + …+ xr ?r = 0 则有不全为零的数x1, x2, …, xr使 所以 AX=BKX=B0=0. AX=0有非零解，则?1, ?2, …, ?r 线性相关，矛盾！ 若 r s, 则?1, ?2 , …, ?r 线性相关, 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 为(Ⅰ) 的最大无关组， 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以 可由 线性表出, 又 线性无关，