孟华《自动控制原理》ch3-10教学幻灯片.ppt

单输入单输出线性系统 系统稳定 特征方程 设方程 k个实根 -pi (i=1，2，…，k) r对共轭复数根 -s i±jw i (i=1，2，…，r) k+2r=n 零输入时 讨论 若特征方程的根均具有负实部，则系统稳定； 复数根对应的系统运动是衰减振荡的； 实数根对应的系统输出为指数衰减形式； 若特征方程的根中有一个或一个以上是正数，系统是不稳定的； 特征方程中有实部为零的根，系统处于临界稳定状态。 线性系统稳定的充分必要条件 所有特征根均具有负实部 所有特征根，均在根平面[s]的左半部分 = 系统稳定性的简单例子 二、 劳斯判据(Routh Criterion) 1. 系统稳定性的初步判别 系统闭环特征方程 特征方程的所有系数均为正数，且不等于0。 稳定的必要条件： 2. 劳斯判据 系统特征方程 劳斯阵列表 第一列系数均为正数，系统稳定， 计算行 第一列系数有负数，则第一列系数符号改变的次数等于在右半平面上根的个数 系数行 说明 系数的计算进行到其余的系数项全为0止，直到s0行；系数的完整阵列为倒三角形； 为了简化计算，可用一个正整数去除或乘某一行的各元素，并不影响稳定性结论。 例3.3 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 2、劳斯阵列表如下 s4 1 12 6 s3 6 11 1、特征方程所有系数均为正，满足稳定的必要条件 3、第一列系数均为正实数，故系统稳定 s2 61/6 6 s1 455/61 s0 6 系数行 计算行 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 1、劳斯表如下 s5 1 2 5 s4 3 1 6 s3 s2 s1 s0 2、第一列系数的符号改变了两次，系统有两个特征根的实部为正 ，系统闭环不稳定。 例3.4 5 9 (各系数均已乘3) -11 15 (各系数均已乘5/2) 174 (各系数均已乘11) 15 特殊情况 (1) 劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零(或没有其余项) 。可以用一个很小的正数e 来代替为零的元素，继续计算其他各项。 解 1、劳斯表 s 3 1 1 s 2 2 2 2、e 的上下两个系数符号相同， 有一对虚根存在 ,系统处于临界状态 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 例3.5 用一个很小的正数e 来代替零 如果e 上下元素符号相同，表明特征方程有一对共轭虚根（临界状态），属不稳定。如果e 上下元素符号相反，表明特征方程有正实部根存在，系统不稳定。 s 1 0←e s 0 2 特殊情况 (2) 劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根 处理步骤 利用第k－1行的系数构成辅助多项式 求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行 继续计算劳斯阵列表 关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得 例3.6 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解 1、劳斯表如下 s 5 1 3 -4 s 4 2 6 -8 2、第1列系数符号改变1次，有1个根在右半平面 ,系统不稳定 辅助多项式 2s 4 + 6s 2 - 8 s 3 0 0 ↓求导数