《高等数教学课件》8-6.ppt

第六节 一、空间直线方程 2. 对称式方程 3. 参数式方程 例1.用对称式及参数式表示直线 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 例2. 求以下两直线的夹角 2. 直线与平面的夹角 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 3、平面束 三、实例分析 例7. 求直线 例8. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 例9. 设一平面平行于已知直线 1. 空间直线方程 2. 线与线的关系 3. 面与线间的关系 点 思考与练习 备用题 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章 三、实例分析 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 直线L的方向向量：平行于已知直线L的非零向量s。 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 已知直线上一点 例如, 当 和它的方向向量 设 得参数式方程 : 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 是直线上一点 则两直线夹角 ? 满足 设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 特别有: 解: 直线L1的方向向量为 直线L2的方向向量为 二直线夹角? 的余弦为 (参考P45 例2 ) 从而 当直线与平面垂直时,规定其夹角为 线所夹锐角? 称为直线与平面间的夹角; ? 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 ? 的法向量为 则直线与平面夹角 ? 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例4 设M0(x0, y0, z0)是平面?： 外一点，求M0 到平面?的距离. ? M0 N n d=? ? 解1 可先求得过点M0且与平面?垂直的直线L的方程,然后再求 平面?与直线L的交点N坐标,最后由两点的距离公式即得所求. 直线L的方程为 代入平面?的方程得 于是M0 到平面?的距离为 于是交点N的坐标为: 解2:利用投影(P42) 平面束：通过定直线L的所有平面的全体. 设L的一般方程为 A1x+B1y+C1z+D1=0， (1) A2x+B2y+C2z+D2=0， (2) 其中系数A1，B1，C1与A2，B2，C2不成比例. ?1(A1x+B1y+C1z+D1)+ ?2 (A2x+B2y+C2z+D2) =0 平面束方程 注 ②平面束方程(3) 中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0。 ①平面束方程通常写成 A1x+B1y+C1z+D1+ ?(A2x+B2y+C2z+D2) =0 (3) 解 直线L在平面?上的投影可视为?与过L且垂直于?的平面?1的交线. 因为?1是通过L的平面束中的一个平面， 于是可设?1的方程为 由?与?1垂直知 (1+?)?1+(1-?)?1+(-1+?)?1=0, 得?=-1.从而?1的方程为 y-z-1=0. 所以投影直线的方程为 x+y-z-1+?（x-y+z+1) =0. 其法向量为n={1+?，1-?，-1+?}. ? ?1 L 这是投影平面 这是给定的平面 例5. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 例6. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 提示: 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程. 与平面 的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）. 垂直相交的直线方程. 提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 ① 过已知点且垂直于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 方向余弦. 提示: 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 所求为 一般式 对称式 参数式 内容小结 直线 直线 夹角公式: 平面 ? :