复数讲义[绝对经典].doc

WORD格式整理版 学习指导参考 复数 一、复数的概念 虚数单位i: （1）它的平方等于，即； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i与－1的关系: i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i． （4）i的周期性： ， ， ， ． 数系的扩充：复数 复数的定义： 形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示 复数的代数形式: 通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系： 对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数 复数集与其它数集之间的关系： 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，， ，，那么， 二、复数的几何意义 复平面、实轴、虚轴： 复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 复数复平面内的点 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 复数与的和的定义： 复数与的差的定义： 复数的加法运算满足交换律: 复数的加法运算满足结合律: 乘法运算规则： 设，(、、、)是任意两个复数， 那么它们的积 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 乘法运算律： （1） （2） （3） 复数除法定义： 满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者 除法运算规则： 设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)， 即∵ ∴ 由复数相等定义可知解这个方程组，得 于是有: ②利用于是将的分母有理化得： 原式 ． ∴( 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 例题精讲 例题精讲 复数的概念 已知为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（ ） A．2，5 B．-3，1 C．-1．1 D．2， 【答案】D 计算： （表示虚数单位） 【答案】 ∵，而（），故 设，，则下列命题中一定正确的是（　　） A．的对应点在第一象限 B．的对应点在第四象限 C．不是纯虚数 D．是虚数 【答案】D ． 在下列命题中，正确命题的个数为（　　） ①两个复数不能比较大小； ②若是纯虚数，则实数； ③是虚数的一个充要条件是； ④若是两个相等的实数，则是纯虚数； ⑤的一个充要条件是． ⑥的充要条件是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 复数为实数时，可以比较大小，①错；时， ，②错；为实数时，也有，③错；时， ，④错；⑤⑥正确． 复数的几何意义 复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 由已知在复平面对应点如果在第一象限，则，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限． 若，复数在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 结合正、余弦函数的图象知，当时，． 如果复数满足，那么的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 设复数在复平面的对应点为，因为， 所以点的集合是轴上以、为端点的线段． 表示线段上的点到点的距离．此距离的最小值为点到点的距离，其距离为． 满足及的复数的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 复数表示的点在单位圆与直线上（表示到点与点的距离相等，故轨迹为直线），故选D． 已知复数的模为，则的最大值为_______． 【答案】 ， ，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率． 如图，由平面几何