高等教育数学上[修订版]黄立宏[复旦出版社]习题五答案解析详细讲解.doc

WORD格式整理版 PAGE 学习指导参考 高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题五答案详解 求下列各曲线所围图形的面积： eq y=\f(1,2)x2 与x2+y2=8(两部分都要计算)； 解：如图D1=D2 解方程组 eq \b\lc\{(\a\al(y=\f(1,2)x2,x2+y2=8)) 得交点A(2，2) (1) eq D1=\i\in(0,2,\b\bc(\r(,8-x2)-\f(1,2)x2)dx)=π+\f(2,3) ∴ eq D1+D2=2π+\f(4,3), eq D3+D4=8π-\b\bc(2π+\f(4,3))=6π-\f(4,3)． eq y=\f(1,x)与直线y=x及x=2； 解： eq D1=\i\in(1,2,\b\bc(x-\f(1,x))dx)=\b\bc\[(\f(1,2)x2-lnx)\s (2,1)eq =\f(3,2)-ln2. (2) y=ex，y=e?x与直线x=1； 解： eq D=\i\in(0,1,\b\bc(ex-e-x))dx=e+\f(1,e)-2． (3) y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(ba0)； 解： eq D=\i\in(lna,lnb,eydy)=b-a． (4) 抛物线y=x2和y=?x2?2； 解：解方程组 eq \b\lc\{(\a\al(y=x2,y=-x2+2))得交点 (1，1)，(?1，1) eq D=\i\in(-1,1,\b\bc(-x2+2-x2)dx)=4\i\in(0,1,\b\bc(-x2+1)dx) eq =\f(8,3)． (5) y=sinx，y=cosx及直线 eq x=\f(π,4)，x=\f(9,4)π； 解： eq D=2\i\in(\f(?,4),\f(5?,4),(sinx-cosx))dx eq =2\b\bc\[(-cosx-sinx)\s(\f(5?,4),\f(?,4)) eq =4\r(2)． (6) 抛物线y=?x2+4x?3及其在(0，?3)和(3，0)处的切线； 解：y′=?2x+4．　∴y′(0)=4，y′(3)=?2． ∵抛物线在点(0，?3)处切线方程是y=4x?3 在(3，0)处的切线是y=?2x+6 两切线交点是( eq \f(3,2)，3)．故所求面积为 (7) 摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱 (0?t?2?)与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2?时，x=2? 所以 (8) 极坐标曲线 ρ=asin3φ； 解： eq D=3D1=3·\f(a2,2)\i\in(0,\f(?,3),sin23φ)dφ eq =\f(3a2,2) ·\i\in(0,\f(?,3), \f(1-cos6φ,2))dφ eq =\f(3a2,4) ·\b\bc\[(φ-\f(1,6)sin6φ)\s(\f(?,3),0) eq =\f(?a2,4)． (9) ρ=2acosφ； 解： eq D=2D1=2\i\in(0,\f(?,2),\f(1,2)·4a2·cos2φ)dφ eq =4a2\i\in(0,\f(?,2), \f(1+cos2φ,2))dφ eq =4a2·\f(1,2)\b\bc\[(φ+\f(1,2)sin2φ)\s(\f(?,2),0) eq =4a2·\f(1,2)·\f(?,2)=?a2． (10) 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： r=a(1+cosθ)及r=2acosθ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2． (11) eq r=\r(2)cosθ及 eq r2=\r(3)sin2θ． 解：如图12，解方程组 eq \b\lc\{(\a\al(r=\r(2)cosθ,r2=\r(3)sin2θ)) 得cosθ=0或 eq tanθ=\f(\r(3),3), 即 eq θ=\f(?,2)或 eq θ=\f(?,6)．