解析几何第四版吕林根期末复习课后习题[重点]详细讲解.doc

WORD格式整理版 学习指导参考 第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设，，，证明：、、三点共线． 证明 ∵ ∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线． 6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. 证明： 7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 +=++. [证明] = 由上题结论知： 从而三中线矢量构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明 +++＝4. 图1-5[证明]：因为＝(+), ＝(+), 图1-5 所以 2＝(+++) 所以 +++＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、． ， ，∴ ，即 §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 图1-73.、设一直线上三点A, B, P满足＝l(l1－1),O是空间任意一点，求证： 图1-7 ＝ [证明]：如图1-7，因为 ＝－, ＝－, 所以 －＝l (－), (1+l)＝+l, 从而 ＝. 4.、在中,设. 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合; （2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合 解：（1）， ，同理 （2）因为 ＝, 且 与方向相同， 所以 ＝. 由上题结论有 ＝＝. 5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量 的分解式。 解：是的重心。连接并延长与BC交于P 同理 C O （1） G P （2） A B （3） （图1） 由（1）（2）（3）得 6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点 证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空间任一点O，则 A A 同理 N M B L C 三点重合 O 三角形三中线共点 （图2） 即 §1.5 标架与坐标 9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2). 10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4). 在AiGi上取一点Pi，使＝3, 从而＝， 设Ai (xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，则 G1, G2, G3, G4, 所以 P1(,,) oP1(,,). 同理得P2oP3oP4oP1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍. §1.7 两矢量的数性积 计算下列各题 （1）已知等边△的边长为且求 ； 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角 已知与垂直，求的夹角 已知 问系数取何值时与垂直？ 解∵∴ ∵且 设 ∴ 设与的夹角分别为