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与中学生谈谈代数 【俄】伊⼽·沙法列维奇 序言 我希望代数将成为我们这个故事中的灰姑娘．在学校的数学课程中，⼏何通常是最 受喜爱的⼥⼉．学校中所学习的⼏何知识量相当于总结在欧⼏⾥得的《原本》（公 元前 3 世纪）中的古希腊所达到的⽔平．在很长⼀段时期⾥，⼏何教学以欧⼏⾥ 得为范本，近来才出现⼀些有所简化的版本．虽然⼏何课程有许多改变，但它仍留 有欧⼏⾥得的影响，以及古希腊出现的宏⼤科学⾰命的倾向．我不⽌⼀次听到别 ⼈对我说“我虽然没选择数学作为职业，但⼏何的简洁之美我⼀直铭记在⼼．从最 朴素的命题开始，经过严格的推演，居然可以得到那般复杂的结论！” 可叹的是，我从没听谁对代数表达过类似的看法．有⽤的规则，逻辑判断，以 及借助对数表和计算器做的练习，代数课程就像是这些东西的奇怪组合．这样的 课程在精神实质上更接近于古埃及和古巴⽐伦发展出的数学，⽽⾮产⽣⾃古希腊 ⽽后由西欧的⽂艺复兴所延续的数学发展脉络．然⽽，代数和⼏何同样的基本、精 深、美丽．不仅如此，从现代数学分类的⾓度来看，学校的代数课程其实包含了众 多数学分⽀：代数、数论、组合学以及⼀点⼉概率论． 本书的⽬的是借助紧贴中学课程的内容来展⽰作为⼀个数学门类的代数．虽 然⾯向的是学⽣与教师，但本书并不想写成教科书．⾏⽂叙述以下列知识为基础： 整数及分数的运算；平⽅根；去括号以及其他关于代数表达式的运算；不等式的性 质．所有这些训练学⽣在 9 年级时都该学过了．随着内容的展开，内容的复杂性 会逐步加深．为了帮助读者掌握这些内容，我配备了⼀些简单的习题． 全书主要有如下三个基本主题——数、多项式以及集合，每⼀个主题都包含多 个章节，它们相互交错展开． 有⼀部分涉及基础知识的材料，虽然不需要更多的数学思想，但仍然⾮常复 杂，要求读者对很多事实与定义牢记在⼼．这些材料被置于相关章节的最后，并且 在后续章节中不再出现． 对于书中给出的命题，我选择最“易懂”⽽⾮最简短的证明．说它们易懂，是由 于这些证明将待证的命题与若⼲其他的概念以及命题联系了起来，因此它们明确 了这些命题在相应数学知识结构中的位置．更简短的证明通常在后⾯出现，有时 候会被放在习题⾥． 1 2 在初次学习数学时，知识的发展历程通常会退居其次．有时候甚⾄让⼈感觉 数学向来就如教科书所展⽰的那般完善．事实上，数学是由不计其数的学者花费 数千年发展出来的．为了对这⽅⾯做点强调，书中出现过的数学家（和物理学家） 我在书后列出了其⽣卒年分． 书中公式太多，为了引⽤⽅便，我给它们标了号．⽐如，(2.16) 式表⽰它是第 ⼆章的第 16 个公式。定理与引理在整本书中按次序统⼀标号． 数学教育与启迪基⾦会，尤其是科马洛夫和伊麦⾦两位，在我写作过程中给 予了极⼤帮助．杰穆什⾦承担了阅读⼿稿的⼯作，给出了许多重要的意见．我衷⼼ 感谢他们所有⼈． 伊⼽·沙法列维奇 莫斯科，2000 英⽂版附注： 我衷⼼感谢⽐尔·埃弗⾥特 (Bill Everett)，他将本书翻译成了英⽂．据我判 断，他的英⽂很漂亮．当然，我并不是这⽅⾯的专家．不过有⼀点肯定的是，他极 ⼤的提⾼了⽂本的质量．他找出了原⽂的若⼲错误，并且向我提出了某些地⽅需 要进⼀步清晰阐述的要求．1 伊⼽·沙法列维奇 莫斯科，2002 1译注：本⽂档译⾃ Discourses on Algebra, Springer ．世界图书出版公司出版过该书的影印版 《代数讲义》．本⼈⽔平有限，不当之处还请指正．邮箱是dushubiji@ ． 目录 序言 1 第一章 整数（主题：数）