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* 第8章 二阶电路 8. 1 二阶电路的零输入响应 8. 2 二阶电路的零状态响应和全响应 8.3 一个线性含受控源电路的分析 本章重点 ? 本章重点 ? 特征根与解的形式的关系 ? 二阶电路方程的列写 ? 二阶电路的零输入响应, 零状态响应和全响应 返回目录 8.1 二阶电路的零输入响应 特征根 uC(0-)=U0 i(0-)=0 已知： 求换路后 uC，i ， uL 。 R L C + - i uC S 二阶电路（second-order circuits）: 用二阶微分方程描述的电路。 RLC串联电路的放电过程。 二阶常系数齐次微分方程 特征方程 由KVL得 代人微分方程得 p1，2有三种情况： 过阻尼 （over damped case） 临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case） 起始值 由起始值定积分常数有 解得 解答形式为 R L C + - i uC S 不等的实根 p1，p2 （作图时假设 |p2| |p1|） 则 uC的变化曲线为 由uC求得 t 0 uC U0 uC （1）t = 0时 i=0 ， t = ? 时 i =0； i 始终为正，t = tm 时i 最大。 （2） 0 t tm ，i 增加 ，uL 0； t tm ， i 减小，uL 0 t =2 tm时 uL 最小。 定性画 i ，uL 的曲线： 0 t uC, i, uL tm i U0 uC uL 2tm 由uL=0时计算出 tm ： 由duL/dt可确定uL为极小时的 t 解得 解得 能量转换关系 0 t tm uC 减小，i 增加。 t tm uC 减小 ，i 减小。 R L C + - uC R L C + - uC 电容放出储能，电感 储能，电阻消耗能量。 电容、电感均放出储能, 电阻消耗能量。 储能释放完毕， 过渡过程结束。 0 t uC, i, uL tm i U0 uC uL 2tm 特征根为一对共轭复根 其中A ，? 为待定系数。 解答形式 (damping factor) (natural frequency) δ ω ω0 ? ?，?0，?间的关系: 解得 由起始始值 定系数。 定性画曲线 t=0时 uC=U0 uC零点：?t = ?-?，2?-? ... n?-? uC极值点：?t =0， ?，2? ... n? （2） i 零点：?t =0，?，2? ... n? ， i 极值点为uL零点。 uL零点：?t = ? ，?+?，2?+? ... n?+? uC, i 0 ?t ?-? 2?-? 2? uC U0 ? i ? 能量转换关系 0 ?t ? ? ?t ?-? ?-? ?t ? 在(? ~2?)的情况与(0 ~ ?)情况相似，只是电容向相反 方向放电。如此周而复始，直到储能释放完毕。 R L C + - uC R L C + - uC R L C + - uC uC, i 0 ?t ?-? 2?-? 2? uC U0 ? i ? 特例 R = 0 时 等幅振荡。 ?t 0 L C + - uC 能量转换 已知如图，t = 0时打开开关S 。 求uC ，并画出其变化曲线 。 解 iL(0 ?)=5A uC(0 ?)=25V 50p2+2500p+106=0 （1）由换路前电路求得 （2）列写换路后电路的微分方程 （3）解微分方程 , 其特征方程为 特征根为 解答形式为 例1 5Ω 20Ω 10Ω 10Ω 0.5H ? F 100 50V + - uC + - iL S （4） 由初值定待定系数 ? t 0 uC/V 355 25 则 解出 小结： 定待定系数 可推广应用于一般二阶电路。 返回目录 8.2 二阶电路的零状态响应和全响应 已知 uC(0-)=0 ， i (0-)=0 微分方程为 特解（强制分量） 通解（自由分量） 特解（强制分量）为 以RLC串联电路为例。 二阶常系数非齐次微分方程 解答为 通解的特征方程为 一、零状态响应 R L C + - uC iL + t=0 S - 特征根为