《导数各种题型与解法总结》---教师.docVIP

培英堂教育个性化课外辅导 知识改变命运 学习成就未来 培英堂教育 个性化课外辅导 第 PAGE1页 /共 NUMPAGES10页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！ 《导数各种题型及解法总结》 基础知识梳理 1. 常见题型 小题： 函数的图象 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性); 分段函数求函数值； 函数的定义域、值域（最值）； 函数的零点； 抽象函数； 二、大题： 1. 求曲线在某点处的切线的方程； 2. 求函数的解析式 3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值； 5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围 7. 证明不等式； 8. 函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。 (2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。 (3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。 (4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）. (5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。 (6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或 在I上恒成立 (7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 (8)若，使得，则；若，使得，则. (9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有 . (10)若对、 ，恒成立，则. 若对，，使得,则. 若对，，使得，则. （11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3. 解题方法规律总结 1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。 2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法： ①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。 3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。 4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。） 5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”，则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立 等价于的最大值（）恒成立， 而（）是增函数，则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立