(条件极值)多元函数极值与拉格朗日乘数法.pdfVIP

多元函数的极值与 拉格朗日乘数法 多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 1 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 一、多元函数的极值和最值 1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义:是在一点附近 将函数值比大小. 定义 设在点P 的某个邻域, f (P )  f (P ), 则称 0 0 点P 为函数的极大值点. 0 类似可定义极小值点和极小值. 2 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 函数的极大值与极小值统称为函数的极值. 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点. 注 多元函数的极值也是局部的,是与P 的邻域 0 内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值. 有时, 极小值可能比极大值还大. 3 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 函数 存在极值, 在简单的情形下是 容易判断的. 例 函数z 3x 2  4y 2 椭圆抛物面 在(0,0)点取极小值. (也是最小值). z O y x 4 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f (x , y )在点(x , y ) 0 0 具有偏导数, 且在点(x , y )处有极值, 则它在该 0 0 点的偏导数必然为零: f (x , y ) 0, f (x , y ) 0. x 0 0 y 0 0 证 不妨设z f (x , y )在点(x , y )处有极大值, 0 0 (x , y )  (x , y ), 则对于(x , y )的某邻域内任意 0 0 0 0 都有f (x , y )  f (x , y ), 故当y y , x  x 时,