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?递推法
递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.
例1 质点以加速度a从静止出发做直线运动,在某时刻t,加速度变为2a;在时刻2t,加速度变为3a;…;在nt时刻,加速度变为(n+1)
(1)nt时刻质点的速度;
(2)nt时间内通过的总路程.
解析 根据递推法的思想,从特殊到一般找到规律,然后求解.
(1)物质在某时刻t末的速度为
2t末的速度为
3t末的速度为
……
则nt末的速度为
(2)同理:可推得nt内通过的总路程
例2 小球从高处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次,速度减小,求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.(g取10m/s2)
解析 小球从h0高处落地时,速率
第一次跳起时和又落地时的速率
第二次跳起时和又落地时的速率
…
…
第m次跳起时和又落地时的速率
…每次跳起的高度依次,
…
通过的总路程
经过的总时间为
例3 A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a
三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为v,A犬想追捕B犬,B
犬想追捕C犬,C犬想追捕A犬,为追捕到猎物,猎犬不断调
整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长
时间可捕捉到猎物?
解析 由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率曲线运动,而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上,但这正三角形的边长不断减小,如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间,则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动,再用递推法求解.
设经时间t可捕捉猎物,再把t分为n个微小时间间隔△t,在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔△t,正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an,显然当an→0时三只猎犬相遇.
因为
即
此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解.
例4 一列进站后的重载列车,车头与各节车厢的质量相等,均为m,若一次直接起动,车头的牵引力能带动30节车厢,那么,利用倒退起动,该车头能起动多少节同样质量的车厢?
解析 若一次直接起动,车头的牵引力需克服摩擦力做功,使各节车厢动能都增加,若利用倒退起动,则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变,但各节车厢起动的动能则不同.
原来挂钩之间是张紧的,倒退后挂钩间存在△s的宽松距离,设火车的牵引力为F,则有:
车头起动时,有
拉第一节车厢时:
故有
拉第二节车厢时:
故同样可得:
……
推理可得
由
另由题意知
因此该车头倒退起动时,能起动45节相同质量的车厢.
例5 有n块质量均为m,厚度为d的相同砖块,平放在水平地面上,现将它们一块一块地叠放起来,如图6—2所示,人至少做多少功?
解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来,每次克服重
力做的功不同,因此需一次一次地计算递推出通式计算.
将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为
将第3、4、…、n块砖依次叠放起来,人克服重力至少所需做的功
分别为
所以将n块砖叠放起来,至少做的总功为
W=W1+W2+W3+…+Wn
例6 如图6—3所示,有六个完全相同的长条薄片、
2、…、6)依次架在水平碗口上,一端搁在碗口,另一端架在另一
薄片的正中位置(不计薄片的质量). 将质量为m的质点置于A1A
的中点处,试求:A1B1薄片对A6B6的压力.
解析 本题共有六个物体,通过观察会发现,A1B1、A2B2、…、
A5B5的受力情况完全相同,因此将A1B1、A2B2、…A5B5作为一类,
对其中一个进行受力分析,找出规律,求出通式即可求解.
以第i个薄片AB为研究对象,受力情况如图6—3甲所示,第i个
薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片
向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴,根据力矩平衡有
所以 ①
再以A6B6为研究对象,受力情况如图6—3乙所示,A6B6受到薄片
A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力
N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴,根据力矩平衡有
由①、②联立,解得
所以,A1B1薄片对A6B6的压力为
例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每
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