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几何之五大模型 在小学奥数知识体系中，几何五大模型是几何专题中非常重要的一块知识点 ，方法 性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助 的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌 握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题 意同时运用多种模型 ，从而更好的解决问题！ PS:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供大家有针对性学习巩固，相信 大家对于应用题的攻克将不在话下！ 一、五大模型简介 （1 ）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1 ：S2=a:b ； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1 ：S2=a:b ； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD ；反之，如果 S△ACD=S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD。 例、如图，三角形 ABC 的面积是 24 ，D、E、F 分别是 BC、AC、AD 的中点，求三角形 DEF 的面积。 （2 ）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上或 AB、AC 延长线上的点 则有：S△ABC ：S△ADE= （AB×AC ）：（AD×AE ） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接 BE ，根据等积变化模型知 S△ADE ：S△ABE=AD ：AB S△ABE ：S△CBE=AE ：CE 所以 S△ABE ：S△ABC=S△ABE ：（S△ABE+S△CBE ）=AE ：AC 因此S△ADE ：S△ABC = （S△ADE ：S△ABE ）× （S△ABE ：S△ABC ） = （AD ：AB ）× （AE ：AC ）。 例、如图在 ΔABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 AB ：AD=5:2 ，AE ： EC=3:2 ，△ADE的面积为 12 平方厘米，求 ΔABC 的面积。 （3 ）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形 ABCD ，AB 与 CD 平行，对角线 AC、BD 交于点 O ，已知△AOB、△BOC 的面积分别为 25 平方厘米、35 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) ： 例、如图，四边形 ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O ，如果三角形ABD 的面积等于 三角形 BCD 面积的 1/3 ，且AO=2、DO=3 ，求CO 的长度是 DO 长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方 面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面 积对应的对角线的比例关系。 （4 ）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线 相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行 DE 这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16、AD=10、BE=4 ，那么FC 的长度是 多少？ （5 ）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模 型,看一下它都有哪些性质： S△ABG ：S△ACG=S△BGE ：S△CGE=BE ：CE S△BGA ：S△BGC=S△GAF ：S△GCF=AF ：CF S△AGC ：S△BGC=S△AGD ：S△BGD=AD ：BD 例、如图，E、D 分别在 AC、BC 上，且 AE ：EC=2:3 ，BD ：DC=1:2 ，AD 与 BE 交于 点 F ，四边形DF