交流试题（理科数学）.docVIP

PAGE PAGE 1 2012年交流试题 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 复数的虚部为( ) A B C D 2.已知向量，，若∥，则锐角等于（ ） A． B． C． D． 3. oxyo1-1 o x y o 1 -1 o x y o 1 -1 o o x y o 1 -1 o o x y o 1 -1 o o oo o o xxxxx x x x x x 4．在棱长为2的正方体中，G是的中点，则到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 5.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y）， 则点M取自阴影部分的概率是 （ ） A． B． C． D． 6.已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数，若命题“或”为真，命题“且”为假，则实数的取值范围是（ ）（ A. B. C. （0，2） D. 7.已知等差数列中，有，且它们的前项和有最大值，则使得的 的最大值为 （ ） A．11 B．19 C． 20 D．21 8.设集合，在S上定义运算“⊕”为：，其中为被4除的余数，．则满足关系式的的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 . 10.已知函数则= 11.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 12.设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为S内的两个点，则|AB|的 最大值为 . 13.如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在函数的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“Л型函数”．则下列函数： ①； ② ； ③ ， 是“Л型函数”的序号为　 ． 14、(坐标系与参数方程选做题) 已知抛物线：，（为参数）设为坐标原点，点在上运动，点是线段的中点，则点的轨迹普通方程为　　　　　 15．(几何证明选讲选做题) 如右图所示，是圆的直径， ，，，则 ． 三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 设（其中），已知且最小正周期为 （Ⅰ）求的值及的表达式； （Ⅱ）设的值。 17.（本小题满分13分） 2012年3月22日 年龄段 “中国水周”中国主题 联合国“世界水日”主题 回答正确人数 占本组人数频率 回答正确人数 占本组人数频率 [10,20) 30 a 30 0.5 [20,30) 48 0.8 30 0.5 [30,40) 36 0.6 48 0.8 [40,50) 20 0.5 24 b [50,60] 12 0.6 10 0.5 （Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答活动主题正确的概率，规定回答正确世界环境日中国主题的得20元奖励，回答正确世界水日主题的得30元奖励．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个主题，两个主题能否回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望； （Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率． 18. （本题满分13分） 如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直， M、N分别是DE、AB的中点。 　（Ⅰ）证明：MN∥平面BCE； （Ⅱ）求二面角M—AB—E的正切值。 　 19.（本小题满分14分） 已知圆C1的方程为，定直线l的方程为． 动圆C与圆C1外切，且与直线l相切． （Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程； （ = 2 \* ROMAN II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为POQ（O为坐标原点）的面积，求的值． 20. （本小题满分14分） 数列满足，（）. （Ⅰ）设，求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求出并由此证明：＜. 21．（本小题满分14分） 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．