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十二、《计数原理》变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲） 审校人 张志红 1．（人教A版选修2-3第22页例4） 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ？ 变式1： 由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x＝ ． 【解析】：（1+4+5+x）=288，解得10+x=12． 【答案】：x=2． 变式2：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ） （A）56个　　　　　（B）57个　　　　（C）58个　　　（D）60个 【解答】解法一：（直接法） 当首位排2，次位排3时，有A-1种；次位排4、5时有2 A种，共计17种； 当首位排3，A种，共计24种； 当首位排4，次位排3时，有A-1种；次位排1、2时有2 A种，共计17种； 以上总计17+24+17=58种。 解法二：（间接法） 不作限定时有=120种； 当首位排1或5时，各有A种，共计48种不满足要求； 当首位排2，次位排1时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求； 当首位排4，次位排5时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求； 因此共有120-48-7-7=58种排法，即58个数． 变式3：给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次 （1）可能组成多少个四位数？ （2）可能组成多少个四位奇数？ （3）可能组成多少个四位偶数？ （4）可能组成多少个自然数？ 【分析】：注意0不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑． 【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成个四位数； 解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有个，无数字0的有个，所以共组成+=300个四位数； 解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，所以共有个四位数； （2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余两个数位的排法有，所以共有个四位奇数； （3）解法一：由（1）（2）知共有300-192=108个四位偶数； 解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时，有个四位偶数；2在个位时，有个四位偶数，所以共有+=108个四位偶数； （4）一位数：有=6个； 两位数：有=25个； 三位数：有=100个； 四位数：有=300个； 五位数：有=600个； 六位数：有=600个； 所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数． 【点评】解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位． 2．（人教A版选修2-3第29页例4） 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 （1）有多少种不同的抽法 ？ （2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？ （3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？ 变式1：某人手中有５张扑克牌，其中２张为不同花色的２，３张为不同花色的Ａ，有５次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？ 【分析】：分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏． 【解答】出牌的方法可分为以下几类： （1）5张牌全部分开出，有种方法； （2）2张2一起出，3张A一起出，有种方法； （3）2张2一起出，3张A分开出，有种方法； （4）2张2一起出，3张A分两次出，有种方法； （5）2张2分开出，3张A一起出，有种方法； （6）2张2分开出，3张A分两次出，有种方法； 因此，共有不同的出牌方法种． 【点评】分类讨论一直是高中的难点，但更是高考的热点内容之一，所以同学们不能回避，应加强训练． 变式2：将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空， （1）若7个小球相同，共有多少种不同的放法？ （2）若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？ 【解析】：（1）解法1：∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2， ∴分三类，共有分法 解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板， 故共有分法 （2