2017年高考理科数学试题第三章导数及其应用.docxVIP

第三章 导数及其应用 一、选择题 1.（2017全国卷2）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，则的极小值为 -1 B. C. D.1 【答案】：A 【知识点】：函数与导数 极值 【考查能力】：运算求解 【解析】：， 则， 则，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 则极小值为． 2.（2017全国卷3）已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则a= A.- B. C. D.1 【答 案】 C 【知识点】 函数的基本性质与函数零点 【考查能力】 运算求解能力，数据处理能力 【解 析】由条件，，得： ∴，即为的对称轴， 由题意，有唯一零点， ∴的零点只能为， 即， 解得． 二、填空题 三、解答题 1.(2017全国卷1)已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【知识点】：函数的零点；导函数的意义。 【考查能力】：化简转化能力，运算能力，分类讨论。 【解析】：解（1）由题，； （i）时，恒成立，在R上单调递减； （ii）时，令=0，解得；时0.单调减；时，0,单调增。 （2）时，恒成立，在R上单调递减，最多有一个零点，不合题意；时，若使有两个零点，由函数单调性可知，需满足，即 。令，，，若0,则a 的取值范围为（0，1）。 综合知，a的取值范围为（0，1）。 2. （2017全国卷2）已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0. （1）求a； （2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2＜f(x0)＜2-3. 【答案】： 见解析 【知识点】： 函数的单调性与导数、用导数处理不等式恒成立问题 【考查能力】推理论证能力 【解析】（1）由定义域可得：，故恒成立 即对， 恒成立 令, 由题意可知只需满足, 1°当,在单调递减,而,与,矛盾不合题意； 2°当,令,得，当，函数在区间单调递减,当，函数在区间单调递增. 函数在x=a时取得极小值也是最小值 . 再令. 当，，函数单调递增；当，，函数单调递减.当时，取得极大值也是最大值。 所以 由（1）知 令 令 解得 当，函数单调递减；当，函数单调递增； 由零点存在定理： 所以在存在唯一的零点使得 列表如下： 0 极大值 极小值 由上表可知函数存在唯一的极大值点. 一方面 另一方面 即 证毕！ 3. （2017全国卷3）已知函数f(x)=x-1-alnx。 （1）若f(x)≧0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值。 【答 案】见解析； 【知识点】函数与导数综合运用 【考查能力】运算求解能力，推理论证能力； 【解 析】⑴ ， 则，且 当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意； 当时， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． ①若，在上单调递增∴当时矛盾 ②若，在上单调递减∴当时矛盾 ③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意 综上所述． ⑵ 当时即 则有当且仅当时等号成立 ∴， 一方面：， 即． 另一方面： 当时， ∵，， ∴的最小值为． 4. （2017山东卷）已知函数f（x）=x2 +2cosx,g（x）=ex（cosx-sinx+2x-2），其中e≈2.178……是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线y= f（x）在点(π，f(π))处的切线方程. (Ⅱ)令h(x) =g (x) -a f(x)( aR),讨论 (x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】：（Ⅰ）; （Ⅱ） 【知识点】曲线的切线方程与导数，函数的单调性与导数，函数的极值与导数 【考察能力】运算求解能力 【解析】：（Ⅰ）由题意可知 故切线方程为，整理得。 （Ⅱ）由题意可知 则 设函数,则 综上可知： 5. （2017天津卷）设a∈Z，已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间（1,2）内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数. （Ⅰ）求g(x)的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1,x0)∪(x0,2]，函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求证：h(m)h(x0)＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1,x0)∪(x0,2]，满足|-x0|≥. 解：（1）由 解得或. 当变化时，，的变化情况如下表： 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是. （2）证明：由得 令函数则由（Ⅰ）知，当时， 故当时，，单调递减；当时， ，单调递增。因此，当时，， 可得，即。 令函数则由（Ⅰ）知在上单调递增