2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数及函数综合问题课件理.pptVIP

函数、导数及其应用 第 二 章 第16讲　导数与函数的综合问题 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 2016，全国卷Ⅰ，12T 2016，全国卷Ⅲ，21T 2016，四川卷，21T 考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大. 分值：12～14分 板 块 一 板 块 二 板 块 三 栏目导航 板 块 四 1．生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路 3．导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式； 反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． 4．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　) (2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．(　　) (3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．(　　) (4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥ a”．(　　) × √ √ × C 3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)0， ∴F(x)在[a，b]上是减函数． ∴F(x)在[a，b]上的最大值为F(a)＝f(a)－g(a)． A 4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1， 只需f(－1)f(1)＜0， 即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)． (－2,2) f(a)＜f(b) 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题回答解决方案． 注意：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域． 一　利用导数解决生活中的优化问题 【例1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 二　利用导数研究函数的零点或方程的根 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 【例2】 已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围． 三　利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的解题策略 (1)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，那么F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)． (2)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由