无穷小量定义新.ppt

一、无穷小量 作 业 P66. 1 (4) 2 (2) 七、无穷小与无穷大的关系 作 业 P66. 4（3） 定理4 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. 证 意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。 例3 分析 证明 证明 八、曲线的渐近线 定义: 1.垂直渐近线 即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。 例如 有垂直渐近线两条: 求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。 2.水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。 * * 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小量. §5 无穷小量与无穷大量 设f在某U°(x0)内有定义,若 则称f为当x→x0时的无穷小量。 若函数g在某U゜(x0)内有界，则称g为x→x0时的有界量。 类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。 任何无穷小量都是有界量。 例1 注意 （1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的常数. 问：无穷小是否为很小的数？ 很小的数是否为无穷小？ 二、无穷小量与极限的关系 定理1 意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量); 三、无穷小量的性质 性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即 O(1)·o(1)=o(1). 用迫敛性可以证明。 证法1： 证法2 性质2 （同一过程中的） O(1)·o(1)=o(1). 即 O(1)·o(1)=o(1). 。 时，恒有 使得当 即 M x u x x M ￡ - $ ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 d d 注意　无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小； 无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小. 四、无穷小量阶的比较 无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况： 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同. 例如, 不可比. 观察各极限 设当x→x0时，f与g均为无穷小量， 1．若 则称当x→x0时 , f为g的高阶无 穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作 例如，当x→0时，x, x2, …, xn (n为正整数)等都是无穷小量，有 若存在正数K和L，使得在某U°(x0)上有 则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量。 f与g必为同阶无穷小量。 2. 注 若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x)), 但若 f(x)=O(g(x)),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。 属于 函数类 3．若 则称当x→x0时 , f与g是等价无 穷小量，记作 f(x)~g(x) (x→x0). 注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 例如，当x→0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量， 当x→0时不是有界量， 当x→0时不是有界量， 故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。 例1 例２ 解 常用等价无穷小: 五、等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). 证（2） 推论 证 证毕 例5 解 例6 解 解 错 注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。 六、无穷大量 定义2 设函数f在某U°(x0)内有定义，若 则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作 若将“|f(x)|G”换成“f(x)G”或“f(x)－G”,则分别称f当x→x0时有非正常极限＋∞或－∞，分别记作 类似可定义其他极限过程 的非正常极限。 定义 3 对于自变量x的某种趋向（或n→∞时），所有以∞，＋∞或－∞为非正常极限的函数（包括数列），都称