2017年《南方新课堂高考总复习》数学(理科)第二章第15讲导数在生活中优化问题举例[配套课件].pptVIP

* 第15讲 导数在生活中的优化问题举例 本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)的综合题．要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法．分类讨论思想(如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等) 2011年新课标卷考查函数、导数、不等式的综合应用； 2012年新课标卷考查函数、导数、不等式的综合应用； 2014年新课标卷Ⅰ利用导数考查函数零点； 2014年新课标卷Ⅰ考查函 数、导数、不等式的综合应用； 2015年新课标卷Ⅰ考查函 数、导数、不等式的综合应用 1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题 考情风向标 考点分布 考纲要求 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤： (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数 学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答， 即获得优化问题的答案． 1 ．已知物体自由落体的运动方程 s ＝ gt2 (其中 g 取 10 m/s2)，则物体在 t＝3 s 的瞬时速度为( ) A A．30 m/s B．40 m/s C．45 m/s D．50 m/s 2．函数 f(x)＝12x－x3 在区间[－3,3]上的最小值是_____. 3．曲线 y＝xex＋2x＋1 在点(0,1)处的切线方程为_________. 4．某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边 可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的 材料最省，堆料场的长、宽应分别为__________. 16 m,8 m －16 y＝3x＋1 考点 1 利用导数解决生活中的优化问题 (x＋r)2 ＝ a(x2＋2xr＋r2)－ax(2x＋2r) a(r－x)(x＋r) (x2＋2xr＋r2)2 (x＋r)4 解：(1)由题意可知 x≠－r， 所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)． f(x)＝ ax ax x2＋2xr＋r2 ， f′(x)＝ ＝ . 所以当 x＜－r 或 x＞r 时，f′(x)＜0. 当－r＜x＜r 时，f′(x)＞0. 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x) 的单调递增区间为(－r，r)． (2)由(1)的解答可知 f′(r)＝0， f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减． 因此 x＝r 是 f(x)的极大值点． 100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值； 综上所述，f(x)在(0，＋∞)内的极大值为 100，无极小值． 【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意， 求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式 . 在求 f′(x)＞0 和 f′(x)＜0 时要注意，本题主要考查同学们对基本 概念的掌握情况和基本运算能力. 【互动探究】 1．(2013 年重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不 计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建 造成本为 12 000π元(π为圆周率)． (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水 池的体积最大． 解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元， 底面的总成本为 160πr2 元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意，得 200πrh＋160πr2＝12 000π. 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大． 考点 2 利用导数解决不等式问题 例 2：已知函数 f(x)＝ 1－x ax ＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值 范围； 1－a (2)若存在 x0≥1，使得 f(x0)＜ 【互动探究】 2