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奥数专题1：函数的零点、不动点、稳定点 一、基本知识 满足f(x)=0的x的值叫做函数f(x)的零点 满足f(x)=x的x的值叫做函数f(x)的不动点 满足f(f(x))=x的x的值叫做函数f(x)的稳定点 若函数f(x)=ax+b(a≠1)的不动点为x0=b1-a，则函数f(x)可写成f(x)=ax-b1-a+b1-a，f 二、例题选讲 1.设,如果A中只含有一个元素,则有 （ ） A A B C D 2.设，若方程无实根，则方程（ ） A.有四个相异实根 B.有两个相异实根 C.有一个实根 D.无实根 3.已知满足。（1）求的取值范围；（2）证明方程有两个不等实根；（3）图像与轴交于A、B两点，求。 4.已知的图像上有两个点满足．（1）求证：；（2）求方程的另一根的取值范围；（3）求证：中至少有一个为正数． 5.对于函数，若，则称为的不动点；若，则称为的稳定点；函数的不动点和稳定点的集合分别是A、B，即 。（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围。 6.设的两个不动点为满足。（1）当时，证明：；（2）设函数的图像关于对称，证明： 7.已知的两个零点为，的两个不动点为。（1）若，且均为负整数，求；（2）若，求证： 8.设是正整数，关于x的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值。 9.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根. 10.设二次函数在上至少有一个零点，求的最小值。 11.已知二次函数在与轴有两个不同的交点，求的取值范围。 12.已知函数。若对任意实数，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围。 13. 已知函数fx=4 14. 若fx= 15.（第24届IMO） 已知f:R （1）对任意的x,y∈R+，有fxfy=yf 试求函数f(x). (第35届IMO）设S是所有大于-1的实数组成的集合，确定所有的函数f:SS，满足条件 : （1）对于S内所有的x,y有f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)；（2）在区间(-1,0)和(0,+) 内，是严格单调递增的.