67东北师大附中学高三第一轮复习导学案-参数方程A.docxVIP

东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案067A PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 参数方程(教案)A 知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念: 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数方程 设圆O（O为坐标原点）的半径为，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程（不要求掌握） 以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准方程为其参数方程为，其中 焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为 7．直线的参数方程 经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量，当点在M上方时，＞0；当点M在M0下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 二、题型探究 探究一：把参数方程化为普通方程 例1：已知曲线C1：x=-4+costy=3+sint (t为参数)， （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2t 解答：（Ⅰ）C1:(x+4)2+(y-3) C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。 C2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。 （Ⅱ）当t=π2时，，故 C3为直线x-2y-7=0，M到C3的距离 ? ???????? 从而cosθ=45 ,sinθ=35 时,d 探究二：椭圆参数方程的应用 例2：在平面直角坐标系xoy中，点p(x,y)是椭圆x23+ 解答： 因椭圆x23+ 故可设动点P的坐标为(3cos?,sin?)，其中0≤?2π因此，S=x+y=3cos?+ sin? =2sin(?+π3) 探究三：直线参数方程的应用 例3：过点作倾斜角为的直线与曲线x2+2y2=1 求|PM||PN|的最小值及相应的的值。 解析：设直线为，代入曲线并整理得 ，则 所以当时，即α=π2，|PM|?|PN|的最小值为34，此时 探究四：圆的参数方程的应用 例4：已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B （1）求曲线C的普通方程； （2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长 解答：（1）由 所以，曲线C的普通方程为(x－2)2+y2=2 (2）因为，所以AB的垂直平分线斜率为 又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y= （3）圆心到直线AB的距离，圆的半径为r=2 所以 探究五：参数方程的综合应用 例5：已知点P（x，y）是圆上动点， 求 （1）的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y-