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7-任意角的三角函数
课 题:4.3 任意角的 三角 函数 (二)
教学 目的:
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学重点:三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数
值相等
教学难点:正确理解三角函数可看作以 “实数”为自变量的函数
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.设是一个任意角,在的终边上任取 (异于原点的)一点P (x,y)
则P与原点的距离
2.比值叫做的正弦 记作:
比值叫做的余弦 记作:
比值叫做的正切 记作:
比值叫做的余切 记作:
比值叫做的正割 记作:
比值叫做的余割 记作:
以上六种函数,统称为三角函数.
3.突出探究的几个问题:
①角是 “任意角”,当 2k+ (kZ)时,与的同名三角函数值应该是相等
的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用
③三角函数是以 “比值”为函数值的函数
④而x,y的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象
限确定. ⑤定义域:
R
R
4.注意:
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始
边都与x轴的非负半轴重合.
(2)OP是角的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只
有这样,才能说明角是任意的.
(3)sin是个整体符号,不能认为是 “sin”与 “”的积.其余五个符号也
是这样.
(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数,并没有说的终边在什么位
置 (终边在坐标轴上的除外),即函数的定义与的终边位置无关.
(5)比值只与角的大小有关.
二、讲解新课:
1. 三角函数在各象限内的符号规律:
第一象限:
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第二象限:
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第三象限:
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第四象限:
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
记忆法则:
第一象限全为正,二正三切四余弦.
为正 全正
为正 为正
2. 终边相同的角的同一三角函数值相等
例如390°和-330°都与30°终边位置相同,由三角函数定义可知它们
的三角函数值相同,即
sin390° sin30° cos390° cos30°
sin (-330°) sin30° cos(-330°) cos30°
诱导公式一 (其中): 用弧度制可写成
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0~2 π间角的三
角函数值问题.
三、讲解范例:
例1 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° (2) (3)tan (-672°) (4)
解:(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°<0
(2)∵是第四象限角,∴
(3)tan (-672°)=tan (48°-2×360°)=tan48°
而48°是第一象限角,∴tan (-672°)>0
(4)
而是第四象限角,∴.
例2 求证角 θ为第三象限角的充分必要条件是
证明:必要性:∵θ是第三象限角,
∴
充分性:∵sin θ<0,
∴θ是第三或第四象限角或终边在 y轴的非正半轴上
∵tan θ>0,∴θ是第一或第三象限角.
∵sin θ<0,tan θ>0都成立.
∴θ为第三象限角.
例3 求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′ (2) (3).
解:(1)sin1480°10′=sin (40°10′+4×360°)
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