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力学的变分原理 人们为了追求自然规律的统一、和谐，按照科学的审美观点，总是力图用尽可能少的原理（公理）去概况尽可能多的规律。 力学原理是指不需要经过证明而在实践基础上靠归纳得到的力学的最基本、最普遍的规律。原理的正确性和适用范围是由通过它导出的定理、方程及其解与实践的比较来证实的。力学原理是构成力学理论体系的基础与核心。 比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。 力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可分为微分形式和积分形式。 不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理（如机械能守恒原理）。 而变分原理则不同。它提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动。 如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理（如虚位移原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则。动力学普遍方程也是微分变分原理）。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理（哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理） 哈密顿原理是分析力学的基本原理。它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来。也就是说，由它出发，也可得到经典力学的整个框架。 变分原理的思想，不仅在力学中，而且在物理学科的其他领域中，都具有重要的意义和应用价值。 力学的变分原理是变分法在力学中的应用。先介绍泛函和变分法的基本知识。 变分法简介 1.泛函的概念 （1）函数的概念 设 和 是两个变量， 是一个给定的数集。如果对 中的每一个数 ，变量 按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称 是 的函数，记作 ， 称为自变量， 称为 因变量。对于多元函数，记作 。 （2）泛函的概念 给定一个由任何对象组成的集合 ，这里所说的任何对象可以是数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设集合 中的元素用 表示，如果对于集合中的每一个元素 对应一个数 ，则称 是 的泛函，记作 。有时泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。 函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。 2.变分法简介 （1）变分法的研究对象 变分法是研究求泛函的极值的方法。凡有关求泛函极值的问题都称作变分问题。 o x y A B o x y A B （2）变分的概念 变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们这里主要介绍等时变分。 或: 如果自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小变化，则得另一条曲线 ，如图中虚线所示，显然这种曲线有无数条。令 式中 是一个参数，为无穷小量。 如果 ，即得函数 ；如果取 其他值，即得一些与 非常相近的 函数。因此上式表示的是一族依赖于 参数 的函数 ，相应的是一族非常 接近的曲线。式中， 是t的连续可微函数。 在瞬时t，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主部 称为函数的变分： 由于是在瞬时t，不考虑时间t的变化，这种变分称为等时变分。图中的 和 表示了函数的变分与微分的区别。 变分与微分的区别 变分：自变量不变，仅由于函数本身形式 的微小改变而得到的函数的改变； 微分：由于自变量的 微增量而引起 的函数的微增 量。 变分的运算法则： 由于函数取等时变分时，自变量t保持不变，变分运算与时间无关，则 任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以交换：即 (b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。 总之，变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分的变分。 （3）变分法 哈密顿Hamilton原理 提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。 上式仅仅适用于保守系统，将L=T-V 代入该式则得： 对于非保守系统：式中还应包括作用于体系上的非保守力( 包括阻尼力及任一外荷)所作的功，即：