圆锥曲线中的四点共圆问题的研究.docVIP

PAGE PAGE 1 圆锥曲线中的四点共圆问题的研究 定理 设两条直线()与二次曲线: ()有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是 证明 由、组成的曲线即 ， 所以，经过它与的四个交点的二次曲线一定能表成(、不同时为0)以下形式 ① 必要性 若四个交点共圆，则存在，使方程①表示圆，故式①左边展开式含项的系数.而，否则①表示曲线，不表示圆，所以 充分性 当时，式①左边的展开式中不含的项，取时，令式①左边的展开式中含，项的系数相等，即，得 此时曲线①即 ② 的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线②上，所以方程②表示圆。这就证得了四个交点共圆. 下面利用这个定理来解决圆锥曲线中四点共圆问题. 例1 设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点. (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得、、、四点在同一个圆上？并说明理由. (2005年湖北卷) 解 (Ⅰ) 设点,在椭圆上，因为点是线段的中点，所以 ，，即，. 又，，两式相减，得 所以 故直线的方程为,即 又由N（1，3）在椭圆内，得 ∴的取值范围是（12，+∞）. (Ⅱ) 因为是的垂直平分线， 所以直线的方程为，即 因为，由定理，知、、、四点在同一个圆上. 例2 设、是双曲线上的两点，点是线段的中点， (Ⅰ)求直线的方程； (Ⅱ)如果线段的垂直平分线与双曲线相交于、两点，那么、、、四点是否在同一个圆上，为什么？(2002年广东卷) 解 (Ⅰ)设,在双曲线上，因为点是线段的中点，所以 ，，即，. 又，，两式相减，得 ， 所以， 故直线的方程为,即 (Ⅱ) 因为是的垂直平分线， 所以直线的方程为，即 所以，由定理知、、、四点在同一个圆上. 例3 已知O为坐标原点，F为椭圆C：在轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线与C交于A、B两点，点P满足=AFBOxy A F B O x y （Ⅰ）证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。(2011全国卷Ⅱ) 证 设，则过F且斜率为-的直线的方程为，与联立，得，所以， 由0得， 因为， 所以，又 所以点P在C上。 （Ⅱ）将，两式相减，得 ， 所以 即 又 由，得A、P、B、Q四点共圆。