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数学到底是发现还是发明 ———史宁中问题及其解答 王汝发 (甘肃政法学院计算机学院甘肃兰州730070) 　　[摘　要] 通过对数学发展过程的讨论,回答了著名学者史宁中先生提出的一个深刻而新颖的问题:“数学到底是发现还是发明?”笔者通过对数学创新思维的分析和数学学科性质的讨论认为,数学兼有发现和发明两种特性,在整个数学发展的漫长过程中,发现和发明两种职能相辅相成,不能明确割裂开来。这是数学区别于真理的重要标志之一。把数学看做真理是对数学的一大误解,容易导致数学工作者缺乏假设能力而丧失创新能力。 　　[关键词] 数学;发现;发明;真理 　　[中图分类号] N02 ;O1 - 0 　[文献标识码] A 　[文章编号] 1001 - 6201(2002) 02 - 0067 - 06 　　数学研究的对象,数学对象的抽象性与实在性的关系,数学发展的规律性,数学真理的相对性、绝对性等问题是数学哲学研究的重要课题,著名学者史宁中教授通过讨论数学符号的产生及其逻辑发展过程之后提出了一个引人注目且深刻而又新颖的问题,他说:“作为这篇文章的结束,我想提一个更为深刻的问题:数学到底是发现还是发明? 并且请注意到,真理只能被发现而不能被发明。” 从上述问题的表述看,其首先肯定了真理只能被发现而不能被发明。这一问题的特点是与以往的数学哲学问题不同,以前的数学哲学,无论是讨论数学对象本体论时提出的唯名论与实在论还是在讨论数学基础问题时提出的三大数学哲学流派,在研究方向上的共同点是只关心数学大厦中已经建成的部分,检查它的可靠性,讨论数学大厦的材料、质地与位置(数学的本质以及什么是数学) ,而很少去研究数学家们决定大厦将来面貌的富有创造性的工作———新的数学结构的引入和建构,究竟是被发现的还是发明的,或者是又有发现亦有发明,即引入新概念,建立新公理,究竟是发现还是发明新现象,去开辟新的数学分支等高度创造性的决定本领域发展的数学活动。史文[1 ] ( P31 - 35) 中提出的数学哲学课题之新正在此处,它引出了一个数学哲学研究的新课题。不难发现,这一课题可以归结为一个更一般的问题,即数学是如何发展的以及它与真理的发现有何异同。 一、数学的发展与创新思维 数学是一种思维方式,表现了人类思维的本质和特征。几何学的公理化体系具有逻辑严谨性和对象抽象性从而又具有应用广泛性而素称思维的体操,这一点已得到大家的公认。“数学思维”更是当前学术界的常用词,它不仅指数学中的逻辑思维,还特指与数学密切相关的思维方式。数学家将这种思维分为左脑管辖的抽象思维、形式化和公理化,右脑管辖的探索性思维、形象思维和直觉思维。目前正在研究左右脑思维的配合,以期将数学发展成为一种高效率的思维科学。[2 ] ( P3) 由此不难发现,如果数学科学家缺乏创新思维,它必阻滞数学家发明或创造新的数学方法、思想和原理,这是千百年来数学发展规律的历史经验总结。因此要回答数学被发现还是被发明就必须来考察数学创新思维的一般规律。 法国著名数学家彭加勤在巴黎心理学会上作过一次著名的演讲,在这一讲演中,关于数学创新思维的过程,彭加勒曾以自己发明富克斯群和富克斯函数理论为例,作过生动的描述。起初,彭加勒对这种函数冥思苦想想了整整两个星期,企图证明它不存在。后来,“一天晚上”,彭加勒说:“不同于往常的习惯,我喝了浓咖啡,因而辗转反复,难以入眠,众多思维蜂拥而至,我感到了它们不断地冲突和碰撞??直到最后,它们一一相连,也就是说,形成了一个稳定的组合体。”由此,彭加勒构造出了第一类这种函数。就在此时,他开始了旅行生活,旅途中他忘掉了数学工作。突然在马车踏板上的一刹那,一个思想突然闪现在他的脑海里,这个思想就是,他用以定义富克斯函数的变换与非欧几何变换是等价的。对彭加勒的数学创新过程我们可以概括成以下四个阶段: (1) 准备阶段,这时是有意识的工作,但常常不能得到预期的结果; (2) 酝酿阶段,即暂时丢开手头工作,而去干些其他事件,或去休息一下子,而无意识思维却已由此而开动起来; (3) 顿悟阶段,此时问题的答案或证明的途径已经出乎预料地突然出现了; (4) 整理阶段,即将顿悟时所感觉到的那些结果严格地加以证明,并将其过程精确化,同时又可为下一步研究作好必要的准备。可见,数学创新思维是由相互联系、相互作用的若干组成部分按一定方式结合的具有特定功能的有机整体,数学创新的四个阶段是数学认识过程的程序化的体现。 世界著名数学家、科学家和哲学家在其《科学与方法》一书中认为,数学直觉“并不是每一个人都具有的,有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉,或者没有超常的记忆力和注意力,因此,他们绝对不可能理解较高级的数学”。更重要的是,在彭加勒看来,只有超常的记忆力和注意力,而没有数学直觉的人,他们能够理解数学,有时还能应用数学,但不