同余定理解法的其他情况.docxVIP

同余定理 分三类:口诀套用，化余为一，其他 “差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。1、差同减差:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为:“差同减差”。例:“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和”。例:“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。3、余同取余:用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。 ? ? 余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。 ? 剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练: 【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少? 题中3、4、5三个数两两互质。 则〔4，5〕=20﹔〔3，5〕=15﹔〔3，4〕=12﹔〔3，4，5〕=60。?? 为了使20被3除余1，用20×2=40﹔?????? 使15被4除余1，用15×3=45﹔?????? 使12被5除余1，用12×3=36。?? 然后，分别乘以他们的余数:40×1+45×2+36×4=274，?? 因为，27460，所以，274-60×4=34，就是所求的数。【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是多少? 在1000内符合这样条件的数有几个? 题中3、7、8三个数两两互质。????? 则〔7，8〕=56﹔〔3，8〕=24﹔〔3，7〕=21﹔〔3，7，8〕=168。?? 为了使56被3除余1，用56×2=112﹔?????? 使24被7除余1，用24×5=120﹔?????? 使21被8除余1，用21×5=105﹔?? 然后，112×2+120×4+105×5=1229。?? 因为，1229168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。?? 再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个。【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。???? 则〔8，11〕=88﹔〔5，11〕=55﹔〔5，8〕=40﹔〔5，8，11〕=440。?? 为了使88被5除余1，用88×2=176﹔?????? 使55被8除余1，用55×7=385﹔?????? 使40被11除余1，用40×8=320。?? 然后，176×4+385×3+320×2=2499，?? 因为，2499440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ? 题中9、7、5三个数两两互质。???? 则〔7，5〕=35﹔〔9，5〕=45﹔〔9，7〕=63﹔〔9，7，5〕=315。?? 为了使35被9除余1，用35×8=280﹔?????? 使45被7除余1，用45×5=225﹔?????? 使63被5除余1，用63×2=126。?? 然后，280×5+225×1+126×2=1877，?? 因为，1877315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数。 对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法，华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。 来源:华图教育 ? 剩余定理的一般情况:一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的