第十章节 曲线积分跟曲面积分新.doc

第十章 曲线积分与曲面积分 10.01 填 空 (1) 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中﹑﹑为上点处切 向量 的方向角。 (2) 第二类曲面积分化成第一类曲面积分是，其中﹑﹑为上点处的法 向 量的方向角 10.02 计算下列曲线积分： x2+y2=ax0axy x2+y2=ax 0 a x y a/2 L θ 解： 表示为参数方程: 有 (2) ,其中为曲线，，， 解： (3),其中为摆线，上对应从到的一段弧。 解: (4)，其中是曲线上由到的一段弧。 解: （5），其中L为上半圆周，沿逆时针方向。 解: 补直线段由格林公式,有 Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA D y x 0 2a a (x-a)2+y2=a2 L A 区域D的面积 又 （6），其中是用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向 解: ， 用参数方程表示为: 10.03 计算下列曲面积分： x0zyR x 0 z y R H (10.03 (1)图) （1），其中是界于平面及之间的原柱面 解：投影到平面上的投影为 其中 x0zy∑∑1Dxyhx2+y2=h2(10.03 (2)图) x 0 z y ∑ ∑1 Dxy h x2+y2=h2 (10.03 (2)图) （2），其中为锥面,的外侧。 解：补平面上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：的外侧 由高斯公式得: 又 故 （3），其中为半球面的上侧 x0zy∑∑1RRx2+y2=R2R x 0 z y ∑ ∑1 R R x2+y2=R2 R 解: 补平面下侧,与构成一封闭曲面：的外侧；由高斯公式得: 区域的体积 又 ， （4），其中为曲面的上侧。 解: 补平面下侧, 与曲面构成一封闭曲面：的外侧；而 由高斯公式得： 又 （其中） （5），其中为曲面 的外侧 解：方法1: 其中： 方法2：补 由高斯公式得: 而 0xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)10.04证明：在整个xOy平面的除去 0 x y A(0,1) B(0,y) C(x,y) 证明： 在整个平面除去y的负半轴 及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分。 10.05设在半平面内有力构成力场，其中k为常数，；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。 证明： 又 故 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域:半平面,有一阶连续偏导数。 在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。 10.06求均匀曲面的重心的坐标 解：曲 面 在xOy面投影为： 又 是关于yoz面, xoz面对称, 又 区域的面积 重心 10.07设﹑在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为的正向边界曲线。证明：（1） （2） 其中﹑分别是﹑沿L的外法线向量的方向导数,符号称二维拉普拉斯算子 θθL θ θ L 证明：令为 x轴正向到方向的转角 为 x轴正向到切线方向的转角 则 又 根据格林公式： （2）由（1）知 同理 由上两式作差：；证毕 。 10.08求向量通过区域：，，的边界曲面流向外侧的通量 解：由已知条件得所求通量为： 的体积 10.09求力沿有向闭曲线所作的功，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从轴正向看去，沿顺时针方向 解：取为平面下侧被围成, 的单位法向量即 ,令为在xoy面的投影;由斯托克斯公式有： y1x11z0Dxyг y 1 x 1 1 z 0 Dxy г 的面积