《线性代数》试题2.DOC

试题二 一、填充题(每小题3分,共15分) 1．多项式中的系数为 . 2．设为3阶方阵,且,则 . 3．若矩阵的秩为2,则 . 4．已知向量与正交,则 . 5．设3阶方阵的特征值为1,2,3,则 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设为阶方阵,则必有( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶方阵,,其中为3维列向 量,且,,则( ). (A) 1; (B) 2; (C) 4; (D) 8. 3．设是3阶矩阵,且,则( ). (A) ; (B) 1; (C) 2; (D) 4. 4．下列命题不正确的是( ). (A) 若向量组线性相关,则其部分组可能线性无关; (B) 若向量组线性无关,则其部分组必线性无关; (C) 若向量组线性相关,则其部分组必线性相关; (D) 正交向量组必线性无关. 5．设是矩阵,秩,则线性方程组有非零解的充分必要 条件是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、解答下列各题(每小题7分,共21分) 1．设,求及. 2．计算行列式. 3．讨论向量组,,的线性相关性. 四、(本题满分12分) 求方程组的通解. 五、(本题满分12分) 已知矩阵,. (1)求矩阵的逆阵; (2)解矩阵方程. 六、(本题满分12分) 求方阵的特征值和特征向量. 七、(本题满分7分) 设为阶可逆矩阵,维向量组线性无关,证明向量组也线性无关. 八、(本题满分6分) 设为阶正定矩阵,为阶单位阵,证明也为正定矩阵. 参考解答 一、填充题(每小题3分,共15分) 1．多项式中的系数为 4 . 2．设为3阶方阵,且,则 4 . 3．若矩阵的秩为2,则 1 . 4．已知向量与正交,则 -3 . 5．设3阶方阵的特征值为1,2,3,则 6 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设为阶方阵,则必有( D ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶方阵,,其中为3维列向 量,且,,则( C ). (A) 1; (B) 2; (C) 4; (D) 8. 3．设是3阶矩阵,且,则( D ). (A) ; (B) 1; (C) 2; (D) 4. 4．下列命题不正确的是( C ). (A) 若向量组线性相关,则其部分组可能线性无关; (B) 若向量组线性无关,则其部分组必线性无关; (C) 若向量组线性相关,则其部分组必线性相关; (D) 正交向量组必线性无关. 5．设是矩阵,秩,则线性方程组有非零解的充分必要 条件是( A ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、解答下列各题(每小题7分,共21分) 1．设,求及. 解：, , . 2．计算行列式. 解：. 3．讨论向量组,,的线性相关性. 解：, 当时,,线性相关; 当时,,线性无关. 四、(本题满分12分) 求方程组的通解. 解：化增广矩阵为行最简形： , 同解方程组为 , 令,,得通解为 ,(为任意实数). 五、(本题满分12分) 已知矩阵,. (1)求矩阵的逆阵; (2)解矩阵方程. 解：(1) 矩阵的伴随矩阵 , 的行列式 , 的逆阵 . (2) 矩阵方程的解 . 六、(本题满分12分) 求方阵的特征值和特征向量. 解：方阵的特征多项式为 , 方阵的特征值为,. 当时,解,得基础解系,,所以对应于特征值的全部特征向量为(不同时为0). 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). 七、(本题满分7分) 设为阶可逆矩阵,维向量组线性无关,证明向量组也线性无关. 证明：设存在数组,使 , 用左乘上式两边,得 , 因向量组线性无关,所以(),从而线性无关. 八、(本题满分6分) 设为阶正定矩阵,为阶单位阵,证明也为正定矩阵. 证明：因,所以为对称矩阵. 对任一维非零列向量,有,因为正定矩阵,所以,于是 , 因此为正定矩阵. 7