《线性代数》试题8.doc

试题八 一、填空题(每小题3分,共24分) 1．行列式 . 2．设都是3阶矩阵且,则. 3．,,则秩 . 4．设,,则 . 5．设为阶可逆矩阵,且,则的伴随矩阵 . 6．设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,)线性相关,则 . 7．设矩阵满足且,则 . 8．设,已知是它的一个特征向量,则所对应的 特征值为 . 二、选择题(每小题3分,共18分) 1．设为3维列向量,且,则( ). (A) 16; (B) -16; (C) 24; (D) -24. 2．设均为2阶方阵,,则当( )时,可以推出. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 3．设为3阶方阵,且,则( ). (A) -16; (B) -9; (C) -4; (D) 6. 4．已知元齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于,且是的个线性无关的解向量,则基础解系可为( ); (B) ; (C) ; (D) . 5．设维向量组的秩为3,且满足 ,, 则该向量组的一个最大线性无关组是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 6．设矩阵满足,且,则以下结论正确的是( ). (A) 不一定是的特征向量; (B) 一定不是的特征向量; (C) 一定是的特征向量; (D) 为零向量. 三、(本题满分8分) 计算行列式. 四、(本题满分12分) 设矩阵,求矩阵使其满足矩阵方程. 五、(本题满分12分) 求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系. 六、(本题满分14分) 设向量组 ,,,. 问为何值时,向量组线性相关?求此时向量组的一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示. 七、(本题满分12分) 求矩阵的特征值和特征向量. 参考解答 一、填空题(每小题3分,共24分) 1．行列式 -2 . 2．设都是3阶矩阵且,则. 3．,,则秩 1 . 4．设,,则. 5．设为阶可逆矩阵,且,则的伴随矩阵. 6．设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,)线性相关,则 -10 . 7．设矩阵满足且,则 0 . 8．设,已知是它的一个特征向量,则所对应的 特征值为 1 . 二、选择题(每小题3分,共18分) 1．设为3维列向量,且,则( B ). (A) 16; (B) -16; (C) 24; (D) -24. 2．设均为2阶方阵,,则当( D )时,可以推出. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 3．设为3阶方阵,且,则( A ). (A) -16; (B) -9; (C) -4; (D) 6. 4．已知元齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于,且是的个线性无关的解向量,则基础解系可为( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5．设维向量组的秩为3,且满足 ,, 则该向量组的一个最大线性无关组是( A ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 6．设矩阵满足,且,则以下结论正确的是( B ). (A) 不一定是的特征向量; (B) 一定不是的特征向量; (C) 一定是的特征向量; (D) 为零向量. 三、(本题满分8分) 计算行列式. 解： . 四、(本题满分12分) 设矩阵,求矩阵使其满足矩阵方程. 解：由,得, , 所以. 五、(本题满分12分) 求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系. 解：化增广矩阵为行最简形： , 同解方程组为 , 令,求得通解为 ,(为任意数). 齐次线性方程组的基础解系为 ,. 六、(本题满分14分) 设向量组 ,,,. 问为何值时,向量组线性相关?求此时向量组的一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示. 解：记,则 , 当或时,,向量组线性相关. 当时,显然,所以向量组的一个最大无关组为. 当时,化矩阵为行最简形： , 由矩阵的行最简形知向量组的一个最大无组为,且. 七、(本题满分12分) 求矩阵的特征值和特征向量. 解：矩阵的特征多项式为 , 特征值为(二重),. 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(不全为0). 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). 7