《线性代数》试题3.doc

试题三 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．______. 2．已知,则______. 3．已知矩阵的秩,而,则______. 4．设向量,为3阶正交矩阵,则长度______. 5．设方阵满足方程,且已知的一个特征值为,则 常数______. 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设阶方阵满足关系式,且,则必有( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶方阵,,其中为3 维列向 量,且,,则( ). (A) 4; (B) 6; (C) 16; (D) 24. 3．设为可逆矩阵,则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．设向量组为向量组的部分组,下列命题正确的是( ). (A) 若向量组线性相关,则向量组必线性相关; (B) 若向量组线性相关,则向量组必线性相关; (C) 向量组线性无关,而向量组可能线性相关; (D) 向量组线性相关,而向量组可能线性无关; 5．设是矩阵,若线性方程组仅有零解,则必有( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、(本题满分8分) 设,,计算,及. 四、计算下列行列式(每小题6分,共12分) 1．. 2．. 五、(本题满分8分) 求线性变换的逆变换. 六、(本题满分10分) 设. (1) 求矩阵的行最简形和秩; (2) 求向量组的一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示. 七、(本题满分10分) 求方程组的通解. 八、(本题满分12分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵,并计算. 九、(每小题5分,共10分) 1．设向量组线性无关,证明向量组 ,, 也线性无关. 2．设,且,求. 参考解答 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．. 2．已知,则 1/6 . 3．已知矩阵的秩,而,则 2 . 4．设向量,为3阶正交矩阵,则长度 3 . 5．设方阵满足方程,且已知的一个特征值为,则 常数 2 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设阶方阵满足关系式,且,则必有( D ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶方阵,,其中为3 维列向 量,且,,则( C ). (A) 4; (B) 6; (C) 16; (D) 24. 3．设为可逆矩阵,则( A ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．设向量组为向量组的部分组,下列命题正确的是( B ). (A) 若向量组线性相关,则向量组必线性相关; (B) 若向量组线性相关,则向量组必线性相关; (C) 向量组线性无关,而向量组可能线性相关; (D) 向量组线性相关,而向量组可能线性无关; 5．设是矩阵,若线性方程组仅有零解,则必有( C ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、(本题满分8分) 设,,计算,及. 解：,. . 四、计算下列行列式(每小题6分,共12分) 1．. 解： . 2．. 解： . 五、(本题满分8分) 求线性变换的逆变换. 解：系数矩阵,的伴随矩阵 , 的行列式 , 的逆矩阵 , 所求逆变换为 . 六、(本题满分10分) 设. (1) 求矩阵的行最简形和秩; (2) 求向量组的一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示. 解：(1) 化矩阵为行最简形： , 由所得行最简形知秩. (2) 由所得行最简形知向量组的一个最大无关组为,且有,. 七、(本题满分10分) 求方程组的通解. 解：化增广矩阵为行最简形: , 同解方程组为 , 令,,得通解为 ,(为任意数). 八、(本题满分12分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵,并计算. 解：(1) 矩阵的特征多项式为 , 矩阵的特征值为,. 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). (2) 取,则,于是 ,, . 九、(每小题5分,共10分) 1．设向量组线性无关,证明向量组 ,, 也线性无关. 证明：设,由已知得 , 因向量组线性无关,因此 , 此方程组的系数行列式 , 因此,从而线性无关. 2．设,且,求. 解： , . 1