《线性代数》试题6.DOC

试题六 一、填空题(每小题3分,共18分) 1．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别 为,则 . 2．设,则. 3．设为3阶矩阵,且,则 . 4．设,,则秩 . 5．若向量组线性相关,则 . 6．若2阶方阵满足,且的两个特征值不相等,则 . 二、选择题(每小题3分,共18分) 1．有矩阵,下列矩阵运算可行的是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶矩阵的第二列乘以2为矩阵,则的( )为. (A) 第二行乘以2; (B) 第二列乘以2; (C) 第二行乘以; (D) 第二列乘以. 3．设为阶矩阵,为阶单位矩阵,则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．非齐次线性方程组中未知数的个数为,方程个数为,系数矩阵 的秩为,则( ). (A) 时,方程组有解; (B) 时,方程组有唯一解; (C) 时,方程组有唯一解; (D) 时,方程组有无穷多解. 5．设向量组的秩为,向量组的秩为,组可由组线性表示,则与 的关系为( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 6．阶方阵有个不同的特征值是与对角阵相似的( B ). (A) 充分必要条件; (B) 充分而非必要条件; (C) 必要而非充分条件; (D) 既非充分也非必要条件. 三、(本题满分10分) 解方程. 四、(本题满分14分) 设3阶矩阵,,且矩阵满足关系式 . (1) 证明; (2) 求矩阵. 五、(本题满分18分) 设,. (1) 求矩阵的行最简形和秩; (2) 求向量组的一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示; (3) 求齐次线性方程组的通解; (4) 求非齐次线性方程组的通解. 六、(本题满分16分) 设矩阵. (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵; (3) 计算. 七、(本题满分6分) 证明维列向量线性无关的充分必要条件是 . 参考解答 一、填空题(每小题3分,共18分) 1．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别 为,则 -15 . 2．设,则. 3．设为3阶矩阵,且,则 1 . 4．设,,则秩 2 . 5．若向量组线性相关,则 5 . 6．若2阶方阵满足,且的两个特征值不相等,则 6 . 二、选择题(每小题3分,共18分) 1．有矩阵,下列矩阵运算可行的是( B ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设3阶矩阵的第二列乘以2为矩阵,则的( D )为. (A) 第二行乘以2; (B) 第二列乘以2; (C) 第二行乘以; (D) 第二列乘以. 3．设为阶矩阵,为阶单位矩阵,则( C ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．非齐次线性方程组中未知数的个数为,方程个数为,系数矩阵 的秩为,则( A ). (A) 时,方程组有解; (B) 时,方程组有唯一解; (C) 时,方程组有唯一解; (D) 时,方程组有无穷多解. 5．设向量组的秩为,向量组的秩为,组可由组线性表示,则与 的关系为( D ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 6．阶方阵有个不同的特征值是与对角阵相似的( B ). (A) 充分必要条件; (B) 充分而非必要条件; (C) 必要而非充分条件; (D) 既非充分也非必要条件. 三、(本题满分10分) 解方程. 解: , 原方程的解为. 四、(本题满分14分) 设3阶矩阵,,且矩阵满足关系式 . (1) 证明; (2) 求矩阵. 解: (1) 由,得 . (2) 由(1)得. 按方法求: , 所以 . 五、(本题满分18分) 设,. (1) 求矩阵的行最简形和秩; (2) 求向量组的一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示; (3) 求齐次线性方程组的通解; (4) 求非齐次线性方程组的通解. 解: (1) 化矩阵为行最简形: , 由矩阵的行最简形知. (2) 由矩阵的行最简形知向量组的一个最大无关组为,且有,. (3) 由矩阵的行最简形知的同解方程组为 , 令,得通解为 ,(为任意数). (4) 由知为的一个解(特解),而的通解为的通解加上特解,于是的通解为 ,(为任意数). 六、(本题满分16分) 设矩阵. (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵; (3) 计算. 解: (1) 矩阵的特征多项式为 矩阵的特征值为,. 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为