经济数学(导数微分习题及答案).docVIP

PAGE PAGE 17 第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 ? 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) (2) (3)(a ,b为常数) (4) 解 (1) 因为 === 所以 . (2) 因为 所以 (3) 因为 == 所以 (4) 因为 = 所以 . 2. 下列各题中假定存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A表示什么? (1) (2) (其中且)存在) (3) (其中存在) (4) 解（1）因为 == 故 . (2) 因为 == 故 . (3) 因为 == 故. (4) 因为 == 故 . 3.已知, 求 解 由已知易得 当时, , 当时, 又 ==1 ==2 即不存在. 故 . 4. 如果f (x)为偶函数，且存在，证明. 证 由于f(x)为偶函数，所以 f(-x) = f(x) 则 故 . 5.讨论下列函数在处的连续性和可导性： (1) (2) (3) 解 (1) 因为 所以函数 在处可导，从而也连续. (2) 因为 所以函数在x = 0处可导，从而也连续. (3)因为 所以函数在处连续. 又因为 故不存在, 即函数在不可导. 6. 设函数，为使函数f (x) 在x = 1处连续且可导，a ,b应取什么值？ 解 由题意， 有 首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a 又因为 所以a = 2 ,于是b = －1. 故当a = 2, b = －1时，函数f (x) 在x = 1处连续且可导. 7.求曲线在点（-1，1）处的切线方程. 解 因 故 曲线在点（-1，1）处的切线方程为 即 . 8*.设曲线f (x) = xn 在点 (1, 1) 处的切线与x轴的交点为(an，0), 求. 解 因为 所以曲线在点（1, 1）处的切线方程为 y－1 = n ( x－1) 切线与x轴的交点为，即 从而 习题 3－2 ? 1 求下列函数的导数： （1）　　　（2） (3 )　　　　　 (4) (5) 　　(6) (7) 　　　　　　(8) 解　（1）. (2) . (3) . (4) . (5) =. (6) =. (7) =. (8) =. 2. 求下列函数在给定点的导数： （1）, 求 （2）, 求 （3）, 求和. 解 (1) 因为, 所以 (2) 因为 所以 . (3) 因为 = 所以 , . 3. 求的和. 解 注意到 ，有 4. 求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程. 解 当时，, 且有 则 =1 习题 3－3 ? 1. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） (4) （5） (6） 解 (1) =. (2) . (3) =. (4) . (5) . (6) =. 2. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 解 （1） . (2) . (3) . (4) =. 3. 设可导，求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） 解 （1）. （2）. = . (3) . (4) . (5) . 4设 解 当x 0时， 当x 0时， 当x = 0时，由 得. 故 . 5. 设，证明. 证 由复合函数的求导法则，得 将 代入上式, 可得 即 . 6. 设函数f可导，且y = f (a + t) －f (a－ t ), 求. 解 因为 故 . *7 设，求. 解 因为 所以 故 . 习题 3－4 ? 1. 求下列函数的二阶导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解 (1) . (2) 因为 = 所以 . (3) , . (4) . (5) . (6) = 2. 已知存在，且，求. （1） （2） 解 (1) . (2) . 3. 设f (x) 的n阶导数存在，求 . 解 因