《线性代数》试题4.doc

试题四 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．设为3阶方阵,且,则 . 2．设,则. 3．已知,则. 4．元齐次线性方程组的解空间的维数等于 . 5．若2阶方阵满足方程,且的两个特征值不相等,则 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设为3维列向量,且行列式,则行列式 ( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．二次多项式中项的系数是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 3．设均为阶方阵,且,则必有( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．矩阵方程有解的充分必要条件是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5．若向量组线性相关,且,则( ). (A) 全为0; (B) 全不为0; (C) 不全为0; (D) 前述情况都可能出现. 三、(本题满分8分) 计算行列式. 四、(本题满分10分) 设,求. 五、(本题满分10分) 设,求向量组的秩和一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示. 六、(本题满分10分) 已知矩阵,解矩阵方程. 七、(本题满分12分) 求方程组的通解. 八、(本题满分12分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵. 九、(本题满分8分) 设是非齐次线性方程组的一个解,是的一个基础解系.证明线性无关. 参考解答 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．设为3阶方阵,且,则. 2．设,则. 3．已知,则. 4．元齐次线性方程组的解空间的维数等于. 5．若2阶方阵满足方程,且的两个特征值不相等,则 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设为3维列向量,且行列式,则行列式 ( B ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．二次多项式中项的系数是( D ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 3．设均为阶方阵,且,则必有( A ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．矩阵方程有解的充分必要条件是( C ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5．若向量组线性相关,且,则( D ). (A) 全为0; (B) 全不为0; (C) 不全为0; (D) 前述情况都可能出现. 三、(本题满分8分) 计算行列式. 解： . 四、(本题满分10分) 设,求. 解：令,,则 ,,…,, ,,…,, 特别地有 ,, 所以 . 五、(本题满分10分) 设,求向量组的秩和一个最大无关组,再把其余向量用该最大无关组线性表示. 解：化矩阵为行最简形： , 由所得行最简形知,向量组的秩为2,一个最大无关组为, 且有,. 六、(本题满分10分) 已知矩阵,解矩阵方程. 解：由,得, ,, 所以可逆,于是. 利用方法求： , 所以 . 七、(本题满分12分) 求方程组的通解. 解：化增广矩阵为行最简形： , 同解方程组为 , 令,,得通解为 ,(为任意数). 八、(本题满分12分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 求可逆矩阵,使为对角矩阵. 解：(1) 矩阵的特征多项式为 , 矩阵的特征值为,. 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). (2) 取,则. 九、(本题满分8分) 设是非齐次线性方程组的一个解,是的一个基础解系.证明线性无关. 证明：设存在一组数,使 ,(1) (1)式即 ,(2) 由题设知,,用矩阵左乘(2)式的两边,得 , 因,得 ,(3) 代入(2)式得 , 因基础解系线性无关,所以 , 代入(3)式得.因此(1)式只有零解,从而线性无关. 8