《线性代数》试题5.DOC

试题五 一、填空题(每小题4分,共20分) 1．设,,,则,. 2．设矩阵的逆矩阵,则,. 3．设,则 ,当 时, 向量组线性相关. 4．已知矩阵,则秩 ,齐次线性方程组 的解空间的维数等于 . 5．已知方阵与对角矩阵相似,则 , . 二、选择题(每小题3分,共12分) 1．设阶方阵满足关系式,则必有( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设是阶矩阵,的第二列乘以为矩阵,则的( )为. (A) 第二行乘以; (B) 第二列乘以; (C) 第二行乘以; (D) 第二列乘以. 3．设阶矩阵的秩,则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．设向量组可由向量组线性表示,则( ). (A) 当时,向量组必线性相关; (B) 当时,向量组必线性相关; (C) 当时,向量组必线性相关; (D) 当时,向量组必线性相关. 三、(本题满分8分) 判断矩阵可逆,并求其逆矩阵. 四、(每小题5分,共10分) 1．计算行列式. 2．设为维列向量,矩阵,,且已知 行列式,,计算. 五、(本题满分12分) 确定的值使线性方程组有解,并求其解. 六、(本题满分12分) 设,问 (1) 向量组可否由向量组线性表示?若可以,写出线性表示式; (2) 向量组与向量组是否等价? 七、(本题满分13分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 计算. 八、(本题满分7分) 设,为阶方阵,为阶单位矩阵.计算 , 并由此证明 . 九、(本题满分6分) 设维向量与正交,证明. 参考解答 一、填空题(每小题4分,共20分) 1．设,,,则,. 2．设矩阵的逆矩阵,则,. 3．设,则,当时, 向量组线性相关. 4．已知矩阵,则秩,齐次线性方程组 的解空间的维数等于. 5．已知方阵与对角矩阵相似,则, . 二、选择题(每小题3分,共12分) 1．设阶方阵满足关系式,则必有( D ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．设是阶矩阵,的第二列乘以为矩阵,则的( A )为. (A) 第二行乘以; (B) 第二列乘以; (C) 第二行乘以; (D) 第二列乘以. 3．设阶矩阵的秩,则( B ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 4．设向量组可由向量组线性表示,则( C ). (A) 当时,向量组必线性相关; (B) 当时,向量组必线性相关; (C) 当时,向量组必线性相关; (D) 当时,向量组必线性相关. 三、(本题满分8分) 判断矩阵可逆,并求其逆矩阵. 解：因,所以矩阵可逆. 按方法求： , 所以. 四、(每小题5分,共10分) 1．计算行列式. 解：. 2．设为维列向量,矩阵,,且已知 行列式,,计算. 解： . 五、(本题满分12分) 确定的值使线性方程组有解,并求其解. 解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换： . 当时,方程组有解.此时,同解方程组为 , 令,求得通解为 ,(为任意数). 六、(本题满分12分) 设,问 (1) 向量组可否由向量组线性表示?若可以,写出线性表示式; (2) 向量组与向量组是否等价? 解：(1) , 可知,所以可由线性表示. , 可知,. (2) 易知,所以 , 从而与等价. 七、(本题满分13分) 已知矩阵, (1) 求矩阵的特征值和特征向量; (2) 计算. 解：(1) 矩阵的特征多项式为 , 矩阵的特征值为. 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). 当时,解,得基础解系,所以对应于特征值的全部特征向量为(). (2) 取,则,于是 ,, . 八、(本题满分7分) 设,为阶方阵,为阶单位矩阵.计算 , 并由此证明 . 解： , 上式两边取行列式,得 , 由 ,,, 即得所证. 九、(本题满分6分) 设维向量与正交,证明. 证明：因与正交,故.于是 . 1