《线性代数》试题7.doc

试题七 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．已知矩阵且,则必须满足 . 2．设矩阵与相似,其中.已知矩阵有特征值,则 . 3．设互不相同,则的充要条件是 . 4．设向量组,,线性无关,则必 须满足关系式 . 5．设为矩阵,为矩阵,且,,则 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设是矩阵(),是矩阵,则下列运算结果为阶方阵的 是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．若方程组(为非零常数)有唯一解,则必须满足( ). (A) ; (B) 或; (C) 或; (D) 且. 3．设为阶矩阵,下列结论中不正确的是( ). (A) 可逆的充要条件是; (B) 可逆的充要条件是的列秩为; (C) 可逆的充要条件是的每一行向量都是非零向量; (D) 可逆的充要条件是当时,. 4．设向量组:与向量组:等价,则( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上都不对. 5．三阶矩阵的特征值为1,2,3,则下列矩阵中可逆矩阵是( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、(本题满分8分) 求的值. 四、(本题满分10分) 已知,,,,且,求的值. 五、(本题满分10分) 若,且,求. 六、(本题满分12分) 设非齐次线性方程组为 (1) 求其导出的齐次线性方程组的一个基础解系; (2) 由基础解系表示方程组的一般解. 七、(本题满分10分) 设,求矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其它列向量用该最大无关组线性表示. 八、(本题满分10分) 已知为矩阵的一个特征向量,求参数及所对应的特征值. 九、(本题满分10分) 设矩阵可相似对角化,求. 参考解答 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．已知矩阵且,则必须满足. 2．设矩阵与相似,其中.已知矩阵有特征值,则 4 . 3．设互不相同,则的充要条件是. 4．设向量组,,线性无关,则必 须满足关系式. 5．设为矩阵,为矩阵,且,,则 8 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 1．设是矩阵(),是矩阵,则下列运算结果为阶方阵的 是( B ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2．若方程组(为非零常数)有唯一解,则必须满足( D ). (A) ; (B) 或; (C) 或; (D) 且. 3．设为阶矩阵,下列结论中不正确的是( C ). (A) 可逆的充要条件是; (B) 可逆的充要条件是的列秩为; (C) 可逆的充要条件是的每一行向量都是非零向量; (D) 可逆的充要条件是当时,. 4．设向量组:与向量组:等价,则( C ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上都不对. 5．三阶矩阵的特征值为1,2,3,则下列矩阵中可逆矩阵是( A ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三、(本题满分8分) 求的值. 解：原式 . 四、(本题满分10分) 已知,,,,且,求的值. 解： , 因,所以,得. 五、(本题满分10分) 若,且,求. 解：由,得. ,, 所以可逆,于是. 根据求： , 所以 . 六、(本题满分12分) 设非齐次线性方程组为 (1) 求其导出的齐次线性方程组的一个基础解系; (2) 由基础解系表示方程组的一般解. 解：化增广矩阵为行最简形： . (1) 导出组的同解方程组为 , 分别令及,得及,导出组的一个基础解系为 ,. (2) 原方程组的同解方程组为 , 令,得,原方程组的一个特解为 , 原方程组的一般解为 ,(为任意数). 七、(本题满分10分) 设,求矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其它列向量用该最大无关组线性表示. 解：化矩阵为行最简形： . 记矩阵的列向量组为,则矩阵的列向量组的一个最大无关组为,且有,,. 八、(本题满分10分) 已知为矩阵的一个特征向量,求参数及所对应的特征值. 解：设所对应的特征值为,则,由此得 , 解得所对应的特征值,参数. 九、(本题满分10分) 设矩阵可相似对角化,求. 解：矩阵的特征多项式为 , 矩阵的特征值为,. 因矩阵可相似对角化,所以的几何重数等于代数重数,即 . 化矩阵为行阶梯形： , 因,所以,得. 8