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资料 . 关于行列式的一般定义和计算方法 n阶行列式的定义 n阶行列式= （ （1） N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即=； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2　 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D==ad-bc , =bc-ad= -D 以r表第i行，C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r） 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。 性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+ 性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。 推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m2)，则此行列式等于m个行列式之和。 一个n阶行列式，如果它的元素满足：；试证：当n为奇数时，此行列式为零。 每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD 性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。 按行： 按列： 将性质7 与Laplace定理合并为下列结论： （1） 和 （2） 行列式的计算 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 . 该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于，故 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即 故行列式Dn可表示为 由行列式的性质 当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得 4．降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例4 计算n阶行列式 解 将Dn按第1行展开 . 5．逆推公式法 逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。 例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得 6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式 解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式 7．加边法（升阶法） 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 例7 计算n阶行列式 解： （箭形行列式） 8．数学归纳法 例8 计算n阶行列式 解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得 由此，对任意的正整数n，有 9．拆开法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和