《对称性在积分学中的应用》-毕业论文设计（学术).docVIP

毕 业 论 文 （理工类） 题 目： 对称性在积分中的应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 年 级： 学 院： 数学与计算机学院 指导教师： 教务处制 目录 第一章 对称性在定积分中的应用………………………4 第一节 对称性与定积分的相关定义、定理……………4 第二节 定积分的基本定理………………………………4 第三节 对称性在定积分中的应用举例…………………6 第二章 对称性在重积分中的应用………………………8 第一节 重积分的几何意义………………………………8 第二节 对称性在重积分中的重要定理…………………8 第三节 对称性在二重积分中的应用举例………………13 第三章 三重积分的对称性应用…………………………14 第一节 空间对称区域……………………………………14 第二节 空间对称区域上的奇偶函数……………………15 第三节 奇偶函数在空间对称区域上的积分……………15 第四节 三重积分的应用举例……………………………16 第四章 利用对称性构造积分……………………………18 第一节 对称性在积分应用中的其他重要结论……………18 第二节 利用对称性构造积分的应用举例…………………18 参考文献…………………………………………………………21 对称性在积分中的应用 摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用. 关键词：奇偶函数 积分 对称性 在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线、平行于坐标面的平面、平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，来讨论积分的对称性。 第一章 对称性在定积分中的应用 第一节.对称性与定积分的相关定义、定理 对称性定义1： 设平面区域为,若点 ,则关于直线对称，则与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称，称点与是关于的对称点（显然当,对关于,轴对称） 对称性定义2: 设平面区域为,若点，则关于对称，称点与是关于的对称点. 定积分定理1：设在区间上连续，则在上可积. 定积分定理2:设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积. 第二节： 定积分的基本定理 1.1定积分的意义 （1）若，定积分表示曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积； （2）若，曲线与直线轴所围成的曲边梯形的面积为； （3）若符号不定，则定积分表示曲线与直线轴所围成的曲边梯形位于。 1.2对称性在定积分应用中的基本定理 推理 设函数在上连续，则有 （1） 证 令，有 （2） 令，则 （3） 将（3）式代入（2）式，并将积分变量统一成,则 特别地，令，就得公式 由函数奇偶性的定义及上式，易得 定理1 设在对称区间上可积 （i）若是偶函数，则成立 （ii）若是奇函数，则成立 证明：由 ， 对积分作变量代换，得 例1： 计算 解： 很容易知道为奇函数，为偶函数，所以有： 而为偶函数，所以有： 即： 例2： 计算积分 解：我们计算积分，一眼就看出了它的积分域是对称的，我们可以直接联想到对称性得问题 令 而有：，即是偶函数 有：即是奇函数 则有： 定理2 设函数连续， 1)若的图形关于直线对称，即，则对一切,有 2)若的图形关于点对称，即，则对一切，有 证 1)由（1）式及已知条件，有 2)由（1）式及已知条件，有