姜启源数学模型案例3.2.docVIP

题目:基于NOTEBOOK 的生猪最优出售时机的建模与分析 一． 问题思维视图： 1. 系统要素：投入资金、生猪体重增量、猪肉出售价格 2. 要素关联： 纯利润=收入-投入-成本 =生猪现在的体重*生猪现在的售价-每天成本的投入*时间- 生猪的初始体重*生猪的初始售价 3. 问题脉络形象化：该饲养场什么时候出售这样的生猪会使利润最 大？一饲养场每天投入4 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80kg 重量的生猪每天增加2kg。目前市场生猪出售价格为8元/kg，但是预测每天会下降0.1 元。给出如下简图： 二．数学刻画： 1.给定每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数r（=2kg）；生猪出售的市场价格每天降低常数g(=0.1)。 2.给出如下符号列表： 符号 t w p C Q R 含义 时间 生猪体重 单价 t天资金投入 纯利润 出售收入 单位 天 kg 元/kg 元 元 元 三．推演： 假设r=2，g=0.1，t天后出售，则： 生猪体重：w=80+r*t（r=2）; 出售单价：p=8-g*t; 出售收入：R=p*w； 资金投入: C=4*t; 于是利润为：Q=R-C-8*80. 从而得到目标函数(纯利润)： Q(t)=（8-g*t）(80+r*t)-4*t-640 （1） 其中，求t（=0）使Q(t)最大。 这是二次函数最值问题，而且是个现实中的优化问题，故Q(t)的一阶导数为零的t（t=0）值可使Q（t）取最大值。 先求Q(t)一阶导数：matlab求解如下： syms t; Q(t)=(8-g*t)*(80+r*t)-4*t-640; y=diff(Q(t),t) y =- r*(g*t-8) - g*(r*t + 80) - 4 再令y=Q(t)=0，求出t值：matlab求解如下： [g,t,r]=solve(-r*(g*t-80)-g*(r*t+80)=4,g=g,r=r) g =z1 t =(40*z1 + 2)/(z*z1) r =z 即： t=(4*r-40*g-2)./(r*g ) (2) 在这个模型中：取r=2，g=0.1，则： Q（t）=（8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640） 目标函数MATLAB作图如下： ezplot((8-0.1*t)*(80+2*t)-4*t-640,[0,20]) hold on xlabel(t坐标); ylabel(Q(t)坐标); 从图象可知t=10时，Q（t）max=10。即10天后出售，可得最大利润为20元。 四．超参数： 设每天生猪的降低g=0.1元不变，研究r变化的影响，由（2）式可得： t=（40*r-60）./r, r=1.5 （3） MATLAB作图如下： ezplot((40*r-60)./r,[1.5,3]) hold on xlabel(r坐标);ylabel(t坐标); 设生猪体重的增加r=2kg不变，研究g变化的影响，由（2）可知： t=（3-20g）./g, 0 =g=0.15 (4) MATLAB作图如下： ezplot((3-20*g)./g,[0.06,0.15]) hold on xlabel(g坐标);ylabel(t坐标); 由上述2个关系图可知：r是t的增函数，t是g的减函数。于是可以用相对变量衡量结果对参数的敏感程度。t对r的敏感度记作s(t,r)，定义为： s(t,r)=(t./t)/(r./r)≈(dt./dr)*(r./t) (5) 由（3）式，当r=2时: s(t,r)≈60./(40*r-60)=3 (6) 即生猪每天的体重r增加1%，出售时间推迟3%。 类似定义t对g的敏感度S（t，g），由（4）式，当g=0.1时可出： s(t,r)=(t./t)/(g./g)≈(dt./dr)*(g./t) =-3./(3-20g)=-3 (7) 即生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%。 五．超模型： 研究r，g不是常数时对模型的影响： 综上可知，出售的最佳时机是保留生猪直到每天利润的增值等于每天的费用时为止。 由于本案例:S（