《极大线性无关组的相关问题》-毕业论文设计（学术).docVIP

陕西理工学院毕业论文 PAGE 第 PAGE 3页 共 NUMPAGES 3 页 极大线性无关组的相关问题 [摘 要]本文主要讨论了向量的极大线性无关组的性质、求法、以及其在向量组和矩阵中的应用,并对每一条性质都给出了证明,在求解及应用的问题上给出了必要的例题加以说明,通过讨论,使读者对极大线性无关组有更好的认识. [关键词]极大线性无关组;线性相关;线性无关;向量组的秩 1 引言 一个向量组中可能包含有很多个向量,而向量组的极大线性无关组是向量组中重要的知识点,它能够为我们研究向量中的其他问题带来方便.但是,课本上对向量组的极大线性无关组这一问题介绍的内容比较有限,在此,就我所了解的一些与之相关的问题进行一个简单的归纳、总结,从而给出一个简单的较系统的讨论. 2 预备知识 定义2.1 向量称为向量组的一个线性组合,如果有数域P中的数使 定义2.2 如果向量是向量组的一个线性组合时，我们也可以说可以经由向量组线性表出 定义2.3 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出,那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就等价. 性质2.4 向量组之间的等价具有的性质： 反身性:每一个向量组都与它自身等价. 对称性:如果向量组与等价,那么向量组也与等价. 传递性：如果向量组与等价,与等价,那么向量组与等价 定义2.5 向量组称为线性相关的,如果有数域中不全为的数使. 定义2.6 一向量组不线性相关,即没有不全为的数 使就称为线性无关. 定义2.7 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩 定义2.8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关. 定义2.9 若向量组的一部分向量满足： 1）线性无关； 2）每一个向量都可由线性表示, 则称此部分向量组为原向量组的一个极大线性无关组. 定理 2.10 设为维向量,矩阵,令,其中为阶单位矩阵.如果,矩阵T经初等行变换与矩阵等价,则由得到能线性表示其余个向量的向量为向量组的一个极大线性无关组.如果,则线性无关. 定义 2.11 齐次线性方程组的一组解称为方程组的一个基础解系,如果 1）方程组中任意一个解都能表成的线性组合； 2）线性无关 定理 2.12 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于,这里表示系数矩阵的秩. 3 极大线性无关组的一些性质 性质3.1 任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价 证明 假设向量组是向量组的一个极大线性无关组. 欲证这两个向量组等价,只需证明这两个向量组可以互相线性表出即可 ∵是的一个部分 ∴中的每一个向量都可以由向量组线性表示 即 下证中的每一个向量都可以由线性表出 显然，向量组中的部分向量组中的每一个向量都可以被线性表出,下面考虑中的向量 假设向量是向量组中的任意一个向量 则向量组线性相关 即有不全为零的数使 ∵是线性无关的 ∴必有 则上面的式子可改写为 即可以被线性表出 又∵是向量组中的任意一个向量 ∴中的每一个向量都可以由向量组线性表示 综上可得,向量组与向量组等价 命题得证 性质3.2 向量组的极大线性无关组不一定唯一,但任意两个极大线性无关组都是等价的 证明 假设向量组与向量组是向量组的两个极大线性无关组 由性质3.1可知,向量组与向量组是等价的.与此同时,向量组也与向量组等价 由向量组之间等价性质的传递性可知 向量组与向量组是等价的 命题得证 性质3.3 秩为的维向量中的任意个线性无关的向量都是向量组的一个极大线性无关组 证明 假设向量组的秩为,不妨设是向量组中任意个线性无关的向量.下面只需证明可以由线性表示即可. ∵向量组是线性相关的,且是线性无关的 ∴可由线性表示 又∵ 即是向量组中任意一个向量 ∴中每一个向量都可以由线性表出 ∴是向量组的一个极大线性无关组 命题得证 性质3.4 一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组 证明 设向量组(Ⅰ)是向量组( = 2 \* ROMAN II)的一个极大线性无关部分组. 1）若( = 2 \* ROMAN II)中每个向量都可以由(Ⅰ)线性表示,则(Ⅰ)已为( = 2 \* ROMAN II)的一个极大线性无关组; 2）若( = 2 \* ROMAN II)中有向量不能由(Ⅰ)线性表示,则( = 5 \* ROMAN V):,也是( = 2 \* ROMAN II)中的一个线性无关组. 若,则( = 5 \* ROMAN V)已是(