《用MATLAB计算某些区域上的二重积分》-毕业论文设计（学术).docVIP

PAGE w 用ＭＡＴＬＡＢ计算某些区域上的二重积分 摘要：本文研究某些区域上二重积分数值积分公式的构造，数学软件MATLAB实现所构造的数值积分的计算，通过MATLAB用所得公式计算某些典型的二重积分。主要工作包括：将定积分数值计算的几个公式推广到二重积分，编制MATLAB程序，最后通过具体的数值算例进行精度比较，从中选出精度高的二重积分的计算公式，并用公式计算一些典型的二重积分。 关键词：二重积分；数值计算；插值多项式；求积公式 1.引言 二重积分的计算在科学计算中起着重要的作用，关于矩形区域上的二重积分的计算一般都是化重积分为累次积分，然后借助定积分已有的数值积分计算公式推导出，MATLAB已经有这些计算公式的相应的函数，但是往往我们建模得到的二重积分的积分区域都不是矩形区域，对于一般的非矩形区域的二重积分，直接用MATLAB是无法计算的。又当被积函数比较复杂，无法用初等函数表示或求其原函数很困难时，就只能求积分的数值解。 若在上连续，二重积分存在且为一确定的常数，这个数值与的结构、的几何形状有关，二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分，本文研究的某些区域的二重积分，要求二重积分在该区域上能化为二次积分。 二重积分的存在性[1]：在闭区域上连续，则必存在。 定理[1]：若在闭区域上连续，且、在上连续，则： 上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，在区间上对计算定积分（这时看作常数），把得到的结果（是的函数）再在上对计算定积分即为二重积分。具体处理办法是设： （1），（2） 计算二重积分转化为计算单次积分（1）、（2）。 2.定积分的数值积分公式[2] 关于定积分，有Newton-Leibniz公式: 在实际问题中，往往会遇到被积函数的原函数无法用初等函数来表示，或有的虽然能用初等函数表示，但过分复杂，这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式，也就是求积分的数值解。 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 ，称为积分系数，与无关，只与积分区间和积分点有关。 在数值积分方面，最容易得到的是用的代数插值函数来代替它，即将积分区间细分，在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想。对替代函数的要求：精度要高、计算量要小。 定义代数精度：求积公式对一切不高于次的多项式都准确成立，而对于次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为。 代数精度越高，则公式越精确。下面介绍插值型数值积分：牛顿—柯特斯型积分公式。 将积分区间等分，设节点为： 步长，在个节点上建立插值于的次代数多项式（拉格朗日插值多项式），并引进变换： 则有：， 于是得到插值型的牛顿-柯特斯积分公式：。 这里，令 称为求积系数，与被积函数无关，称为柯特斯系数，与步长无关。 可得到代数精度为阶的数值积分 ，误差： 2.1梯形公式 牛顿-柯特斯型求积公式中，当时， （1.1），记。 如图1所示，用一次插值多项式（直线）代替被积函数，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，此时用梯形面积近似代替曲边梯形面积，故称公式（1.2）为梯形公式。梯形公式有1阶的代数精度，用1次多项式估计误差： 2.2辛普森（Simpson）公式 牛顿—柯特斯型求积公式中，当时， （1.2），记， 如图2所示，用二次插值多项式（抛物线）代替被积函数，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，此时用曲边用抛物线代替，故称公式（1.2）为称为抛物线公式，也称此公式为Simpson公式。 A0 A 0 x y=P1(x) B y x y 0 x2 1 y=P2(x) y=f(x) 0 y B A y=P1(x) x 0 图1：用一次插值多项式代替被积函数 图2：用二次插值多项式代替被积函数 注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，用3次多项式估计误差: 从余项的表达式看到，积分的区间宽度比较大，则、就会很大，梯形公式与Simpson公式的计算误差就很大，这时要提高精度，若将积分区间分割成一些小区间，就可使求积公式的截断误差变小。因此，经常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值公式，如梯形公式或抛物线公式，构造出相应的求积公式，然后再把它们加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。复化求积公式克服了高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化Simpson公式。 2.3复化求积公式 将区间分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。 2.3.1复化梯形公式 将区间等