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第九章 压杆稳定 习题解
[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时,压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,由此所得公式又是否相同。
解: 挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。
因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是
。(c)、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:,显然,这微分方程与(a)的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f所示杆在中间支承处不能转动)?
解:压杆能承受的临界压力为:。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比,其中,为与约束情况有关的长度系数。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)(下段);(上段)
故图e所示杆最小,图f所示杆最大。
[习题9-3] 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a)的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b)的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
?为什么?并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
螺旋千斤顶(图c)的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响?校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆是否偏于安全?
解:临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素,其临界力为:。但是,(a) 为一端弹簧支座,一端自由的情况,它的长度因素,因此,不能用来计算临界力。
为了考察(a)情况下的临界力,我们不妨设下支座(B)的转动刚度,且无侧向位移,则:
令,得:
微分方程的通解为:
由边界条件:,,;,
解得: ,,
整理后得到稳定方程:
用试算法得:
故得到压杆的临界力:。
因此,长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关,C越小,则值越大。当时,。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接,即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大,或地面较滑时,底座与地面之间有相对滑动,此时,不能看作固定端;当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况,,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆”算出来的临界力要小。譬如,设转动刚度,则: ,。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为的压杆不是偏于安全,而是偏于危险。
[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为,长度为的等截面中心受压直杆的临界应力的欧拉公式。
[解]:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时,两端的竖向反力为,水平反力为0,约束反力偶矩两端相等,用表示,下标表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象,则的转向为逆转。
,令,则
上述微分方程的通解为:
…………………………….(a)
边界条件: = 1 \* GB3 ① ;: ;。
= 2 \* GB3 ② :;。
把A、B的值代入(a)得:
边界条件: = 3 \* GB3 ③ ;:,
= 4 \* GB3 ④ :
以上两式均要求:,
其最小解是:,或。故有:,因此:
。
[习题9-5] 长的10号工字钢,在温度为时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数,。试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定性?
解:
[习题9-6] 两根直径为的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力的算式。
解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况:
(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:
?????????
????????
(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体
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