微分几何习题解答（曲线论).docVIP

范文 范例 指导 参考 word版 整理 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数具有固定方向的充要条件是 × = 。 分析：一个向量函数一般可以写成=的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。 证 对于向量函数，设为其单位向量，则=，若具有固定方向，则为常向量，那么=，所以 ×=（×）=。 反之，若×= ，对= 求微商得=+，于是×=（×）=，则有 = 0 或×= 。当= 0时，=可与任意方向平行；当0时，有×=，而（×=-(·＝，（因为具有固定长， ·= 0） ，所以 =，即为常向量。所以，具有固定方向。 6．向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0 。 分析：向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量，使· = 0 ，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。 证 若平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且· = 0 。两次求微商得· = 0 ，· = 0 ，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。 反之, 若（）=0，则有×= 或×。若×=，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，则存在数量函数、，使= + ① 令=×，则，且⊥。对=×求微商并将①式代入得=×=（×）=，于是×=，由上题知有固定方向，而⊥，即平行于固定平面。 §3 曲线的概念 求圆柱螺线=，=，=在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令=1,=0, =0得=0, (0)={ -,,1}| ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 ，法平面为 y + z = 0 。 求三次曲线在点的切线和法平面。 解 ，切线为， 法平面为 。 3. 证明圆柱螺线={ a ,a,} ()的切线和z轴作固定角。 证明 = {-a ,a,},设切线与z轴夹角为,则 =为常数，故为定角（其中为z轴的单位向量）。 求悬链线={，}（-）从=0起计算的弧长。 解　=　{1，}，| |　= = ，　ｓ＝　。 ９．求曲线在平面　与y = 9a之间的弧长。 解　曲线的向量表示为＝，曲面与两平面　与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , ＝，｜｜＝＝，所求弧长为　。 10. 将圆柱螺线={a，a，b}化为自然参数表示。 解 = { -a,a,b}，s = ，所以， 代入原方程得 ={a, a, } 11.求用极坐标方程给出的曲线的弧长表达式。 解 由，知={-，+}，|| = ，从到的曲线的弧长是s= 。 §4 空间曲线 1．求圆柱螺线=a，=a，= b在任意点的密切平面的方程。 解 ={ -a,a,b},={-a,- a,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为 = 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0 . 2. 求曲线 = { t,t,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。 解 原点对应t=0 , (0)={ +t,- t,+t={0,1,1}， {2+ t,- t,2+t ={2,0,2} ， 所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ， 主法线的方程是 即 ； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。 3．证明圆柱螺线=a，=a，= b的主法线和z轴垂直相交。 证 ={ -a,a,b}, ={-a,- a,0 } ，由⊥知为主法线的方向向量，而 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是 与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。 4.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。 解 = {-cossint, coscost, sin } , ={ -coscost,- cossint , 0 } {sinsint ,- sincost , cos } 新曲线的方程为={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos } 对于新曲线={-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t), cos(-t), sin} , ={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是 即 sin sin(t-) x –sin cos(t-) y + z – tsin – cos = 0 . 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一