QR基本法和位移QR法矩阵特征值求解.doc

实验一：编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 QR基本法和位移QR法矩阵特征值求解 1．QR基本法 算法说明:QR基本算法是求矩阵特征值的最有效和应用最广泛的一种方法方法，其基本依据是以下两个定理： 设A是n阶矩阵，其n个特征值为λ1、λ2、…λm，那么存在一个酉矩阵U使得UTAU是以λ1、λ2、…λm为对角元的上三角矩阵。 设A是n阶实矩阵，那么，存在一个正交矩阵Q，使得QTAQ为一个准上三角矩阵，它的每一个对角元是A的一个特征值，对角元上的二阶块矩阵的两个特征值是A的一对共轭复特征值。 QR基本算法的过程如下： 给定循环步数M，AT=A，k=1,2,…M，计算： Ak=QkRk Ak+1=RkQk QR基本算法有如下的收敛性质： 如果A的特征值满足|λ1||λ2||λ2|≥…≥|λm|,则QR基本算法产生的矩阵序列{Ak}基本收敛到上三角矩阵（特别，当A为对称阵时，收敛到对角阵），对角元素收敛到A的特征值。 在MATLAB中变成实现的QR基本算法的函数为：qrtz 功能：QR基本算法求矩阵全部特征值。 调用格式：l=qrtz(A,M). 其中，A为已知矩阵； M为迭代步数； L为矩阵A的全部特征值。 QR基本算法的流程图： QR基本算法的MATLAB程序代码如下： function l=qrtz(A,M) for i=1:M [q,r]=qr(A); A=r*q; l=diag(A); end task11.m format long A=[1,5,6;4,7,0;8,11,3] l=qrtz(A,20) disp(??è·?a) l=eig(A) 运行过程和结果： 2.位移QR算法 位移QR法是为了加快QR算法的收敛速度，其算法的迭代过程如下： 给定循环步数M，A1=Hessenberg（A）， k=1,2，…M，选择μk，然后计算： Ak-μkI=QkRk Ak+1= QkQk+μkI 一般μk的选择有以下两种考虑方法： 选μk=μk，即瑞利商位移； 迭代过程中，如果子矩阵的两个特征值为实数时，选最接近ak n,n的那个作为μk，即威尔森位移 瑞利商位移QR法流程图如下： 在MATLAB中编程实现的瑞利商位移的QR算法的函数为：rqrtz。 功能：瑞利商位移的QR算法求矩阵全部特征值。 调用格式：T=rqrt(A,M) 其中，A为已知矩阵： M为迭代步数； l为矩阵A的全部特征值 瑞利商位移的QR算法的MATLAB程序如下： function l=rqrtz(A,M) %瑞利商位移QR算法求矩阵全部特征向量? %已知矩阵：A； 迭代步数：M； 求得的矩阵：l; A=hess(A); N=size(A); n=N(1,1); for i=1:M u=A(n,n); [q,r]=qr(A-u*eye(n,n)); A=r*q+u*eye(n,n); end; l=diag(A); end 威尔金森位移的QR算法流程图如下： 在MATLAB中编程实现的威尔金森位移的QR算法的函数为：wilkqrtz 功能：威尔金森的QR算法求矩阵全部特征值。 调用格式：T=wilkqrtz(A,M) 其中，A为已知矩阵； M为迭代步数； l为矩阵A的全部特征值 威尔金森的QR算法的MATLAB程序如下： function l=wilkqrtz(A,M) %威尔金森位移的QR算法求矩阵全部特征值 %已知矩阵：A； 迭代步数：M； 求的矩阵特征值：l A=hess(A); N=size(A); n=N(1,1); for i=1:M A1=A((n-1):n,(n-1):n); t=Chapoly(A1); if(imag(t(1,1))==0imagt(2,1)==0)%两特征值是否为实数 if(abs(t(1,1)-A(n,n))abs(t(1,1)-A(n,n))) u=t(1,1); else u=t(2,1);%选最接近A(n,n)的那个作为u end else u=A(n,n); end [q,r]=qr(A-u*eye(n,n)); A=r*q+u*eye(n,n); l=diag(A); end task12.m A=[6,3,2;4,3,8;7,9,5] disp(èeà?éì??ò?QR??·¨?a￡o) l=rqrtz(A,13) disp(wilk??ò?QR??·¨?a￡o) l=wilkqrtz(A,13) disp(??è·?a￡o) l=eig(A) 运行结果