关于某渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题.doc

河南城建学院 《数学建模与数学实验》课程设计 专 业 数学与应用数学 学 号 姓 名 指导教师 数理系 2012年6月 目录 摘要…………………………………………………. 关键词……………………………………………….. 问题重述…………………………………………….. 问题背景……………………………………………. 问题分析……………………………………………. 建模过程…………………………………………….. 符号说明…………………………………… 模型假设…………………………………… 模型的建立与求解………………………… 模型分析………………………………….... 模型的评价与改进…………………………………. 参考文献……………………………………………. 关于渔场鱼的数量的模型和鱼资源稳定问题 摘要：本文通过建立两个模型，解决了如何描述该渔场鱼的数量的数学模型及如何保持鱼资源的稳定问题。第一个模型是建立在无捕捞的条件下渔场鱼量增长服从logistic模型，第二个模型建立在第一个模型的基础上且有捕捞条件。通过模型的建立可知，当捕捞强度在一个值时鱼资源保持稳定。 关键词：渔场鱼的数量 捕捞强度 稳定点 正文 一、问题重述 一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞则按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为k。试建立描述该渔场鱼的数量的数学模型，并讨论如何控制k，使渔场的鱼资源保持稳定。 二、问题的背景 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）的开发必须适度，因此渔场鱼的数量及如何保持鱼资源的稳定问题的研究很有必要。 三、问题分析 ⑴ 在自然环境无捕捞的情况下，由于受到渔场水的温度、湿度、含氧量、包括饲料以及种群竞争等的影响，渔场鱼量按自限规律增长，符合logistic增长规律。 ⑵ 在有捕捞的情况下，由固定的船队进行连续作业，即说明捕捞不受其他偶然因素的影响，t足够长时间内捕捞船队数稳定不变，由单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，比例系数为，的大小不确定，主要影响捕捞量的是捕捞强度，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定，如何控制捕捞强度，使渔场鱼资源保持稳定。 四、建模过程 （一）模型假设 1 记时刻t渔场鱼量为x(t)，渔场是个封闭的渔场，不考虑鱼群迁入和迁出的影响，并且假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响； 2 在自然无捕捞情况下，鱼的增长存在自然阻力，且考虑鱼的年龄、产卵、孵化等因素，设自然增长的情况下渔场鱼量的增长服从logistic规律 ； 3 在有捕捞的情况下，设每次开始捕鱼时渔场中各年龄组群条数不变。渔场中由固定的船队进行连续作业，单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比，； 4 假设鱼群内部因素对其生存率的影响不大。 5 假设鱼的市场价格的变化对船队捕捞的鱼的数量有影响，即捕捞强度是受其影响的。 （二） 符号说明 ：渔场中鱼的数量 :固有增长率 ：环境能容纳的最大鱼量 ：在无捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量 :在有捕捞的情况下单位时间内鱼的增长量 :捕捞强度 :单位时间产量 （三) 模型的建立与求解 1数量模型： 在无捕捞的情况下，鱼的自然增长服从logistic规律，即 我们解方程（1）以得到x(t)的动态变化过程 对式进行积分， 解得 在有捕捞的情况下，渔场鱼量满足 我们解方程（3）以得到x(t)的动态变化过程 对式进行积分， 解得 2稳定性模型 我们希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x（t） 求得两个平衡点 ， （四） 模型分析 1数量模型分析 对于logistic规律的推导： 在到这段时间内渔场鱼的数量的增长量为 于是满足微分方程 ① 将上式改写成