八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题55223.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 文：付雨楼、段永建 今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ） A． B． C． D． （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 解：（1），，，，选C； （2）， （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，， ，，，平面， ，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ，， ，，平面， ，，，， 平面，， 故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直， ，即， 正三棱锥外接球的表面积是 （4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（ D ） （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（4）在中，， ，的外接球直径为， ，，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则 ，，，，，，， （6），， ， 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，平面 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ② 2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆。 例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A． B． C． D．以上都不对 解：选C，,, , , 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出 2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径） 3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ② 例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为 。 （2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（1）由正弦定理或找球心都可得，， （2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，， 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，， （3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A．　 B.　 C. 4　 D. 解：选D，圆锥在以的圆上， （4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A A． B． C． D． 解：，， 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图10-1，图10-2