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第四节 一、 无穷小 定义1. 若 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 注意: 例 . 证明 三、无穷小与无穷大的关系 内容小结 * 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大 当 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 (或 ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习 P41 题1 , 3 P41 题3 提示: 第五节 目录 上页 下页 返回 结束