《编码理论第章》-课件设计（公开).ppt

第8章 线性分组码 8.1线性分组码的基本原理 8.1.1基本概念 8.1.2 码的重量和码的距离 8.1.3 检错及纠错能力 8.1.4线性分组码的性质 8.2 线性分组码矩阵表述 8.2.1 生成矩阵 8.2.2监督矩阵 8.2.3 等价码及系统码 8.2.4对偶码及缩短码 8.3 线性分组码的编码及译码 8.3.1 线性分组码的编码 8.3.2标准阵列及译码 8.3.3 伴随式及错误检测 第8章线性分组码 纠错编码的目的是引入剩余度，就是在传输的信息码元后增加一些多余的码元(称为校验元)，以使信息损失或错误后仍能在接收端恢复。 分类 按码组的功能分，有检错码和纠错码。 按监督码与信息码元之间的关系分，有线性码和非线性码。 按照对信息码元处理方法的不同分，有分组码和卷积码。分组码又可分循环码和非循环码两种类型 按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变，可划分为系统码和非系统码。 按照纠正错误类型可分为纠正随机错误码、纠正突发错误码、纠正混合错误码以及纠正同步错误码等。 按照每个码元取值来分，可分为二进制码或二元码与多进制码。 8.1线性分组码的基本原理 8.1.1基本概念 在通信中，为了能在接收端发现和纠正信息传输中产生的错误，发端需要对所传输的数字信息序列进行编码。首先，把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由相继的k位信息数字组成。然后，编码器按照预定的线性运算规则(可由线性方程组来规定)，把信息码组变换成n重(nk)码字，如图8-1所示。 (n—k)个附加码元是由信息码元的线性运算产生的,此码叫(n,k）线性分组码。 一个(n，k)分组码，如果码的数域为GF(p)，即每一个码元可能有p种取值，则信源可发出 种不同的消息组。 对(n,k)线性分组码通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n(nk)重的码字，由 个信息码组所编成的个码字集合，称为(n,k)线性分组码许用码字, 个码字的集合称为禁用码字。码组是所有码字的集合。 一个n重码字可以用矢量 来表示，所以码字又称为码矢，码字也可以用序列或矩阵表述。 对(n，k)线性码，用R＝k／n表示码字中信息位所占的比重，叫做编码效率或编码速率，简称码率。它说明了信道利用效率，所以也叫做传信率。R越小，冗余度就越大,即在一个码字中添加给每个信息符号的冗余符号越多。一个码组的冗余符合越多，检错和纠错的能力越强，但也降低了传输信息的实际速率。R越大，码的效率越高或传信率越高, R是衡量码性能的一个重要参数。 信道编码就是给已知信息组按预定规则添加监督码元，以构成码字。在k个信息元之后附加r(r＝n－k)个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的和。 8.1.2 码的重量和码的距离 在信道编码中，码字中非零码元的数目为码字的汉明（Hamming）重量，简称码重。把两个码字之间对应码位上具有不同码元的位数定义为两码字的汉明（Hamming）距离，简称码距；而在一种编码中，任意两个许用码字间距离的最小值，即码字集合中任意两元素间的最小距离，称为这一编码的最小汉明(Hamming)距离，以 表示； 例如“010”码字的码重为1，“011”码字的码重为2。在非零码字中，重量最小者称为该码组的最小汉明重量。 用d(C1，C2)表示两个n重Cl、C2之间汉明距离，则汉明距离有以下三个性质： (1)对称性：d(Cl，C2)＝d(C2，C1)； (2)非负性：d(Cl，C2)≥0； (3)满足距离三角不等式：d(C1，C2)≤d(C1，C3)＋d(C3，C2) 最小汗明距离与码率R是码的两个最主要参数， 表示了码的纠错能力。今后用（n，k， ）表示最小距离为 ，码率为R＝k／n的线性分组码。 (n，k， )线性分组码的最小距离 ≤n－k＋1。若系统码的最小距离 ＝n－k＋1，则称此码为极大最小距离可分码，简称MDS码。 8.1.3 检错及纠错能力 1．在一个码组内能检测e个错码，则要求最小码距： ≥e＋1 (8-2) 或者说，若一种编码的最小距离为 ，则它最多能检出（ 一1）个错码。 2．一个码组内能纠正t个错码，则要求最小码距为： ≥2t＋