《第4章根轨迹法[42]》-课件设计（公开).ppt

4.2 绘制根轨迹的基本法则 本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则。重点放在基本法则的叙述和说明上。这些基本法则非常简单，熟练地掌握它们，对于分析和设计控制系统是非常有益的。 规则1 根轨迹的对称性 (Rule 1 The Symmetrical Characteristic of the Locus) 实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对。它们往往在s平面上的分布是关于实轴对称的。因此根轨迹也是关于实轴对称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以了。 规则2 根轨迹的分支数、起点和终点(Rule 2 Number of Branches of the Locus, Starting Points, End Points) 设系统的开环传递函数由式(4-6)所示，则相应的闭环特征方程式为 根轨迹的终点是指当根轨迹增益 时根轨迹的位置。由式(4-13)得 这仍是n次方程，它有n个根： 规则3 根轨迹在实轴上的分布(Rule 3 Real-Axis Locus) (1) 位于点si右方实轴上的每一个开环极点和零点指向该点的矢量，它们的相角分别为–π和π；而位于点si左方实轴上的开环极点和零点指向该点的矢量，由于其与实轴的指向一致，因而它们的相角都为0。 由上式可知，只要当(mr + nr)为奇数，则此 试验点si就满足相角条件，表示该点是根轨迹上的一点。 1. 渐近线的倾角 2. 渐近线与实轴的交点(Real-Axis Inte-rcept of the Asymptotes) 在s值很大时，近似有 令实部和虚部分别相等，有 由于开环复数极点和零点总是成对出现，因而σα总是一个实数。为了便于记忆，也可把式(4-24)简化为 规则5 根轨迹的分离点和汇合点(Rule 5 Break-away Point and Break-in Point of the Locus) 根据规则2，根轨迹必始于开环极点，而终于开环零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点间的线段属于根轨迹，那么根轨迹从这两个极点出发并在某点相遇后，就必然要分开，即离开实轴而移向s平面。这种情况下，它们相遇并离开实轴的点称做分离点。如图4-6中的a点就是分离点。 把开环传递函数改写为 规则6 根轨迹的出射角和入射角(Rule 6 Locus Angle of Departure and Approach) 因而 式中， 为待求开环复数极点 的出射角； 为除去 外的其余开环极点指向极点 的矢量的相角； 为开环零点指向极点 矢量的相角。 规则7　根轨迹与虚轴的交点(Rule 7 Imaginary Axis Crossing Point) 已知系统的闭环特征方程式为 令上式的实部、虚部分别等于零，于是有 以上8条是绘制根轨迹的基本规则。应用这些规则，就能迅速地画出根轨迹的大致形状。必须指出，根轨迹的最重要部分既不在实轴上，也不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，只能按相角条件画出。 令劳斯表中 行的首项为零， 得。根据 行的系数，得辅助方程为 代入 并令 ，解出交点坐标 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方 向的夹角，称为根轨迹的入射角。计算根轨迹的出射角的目的在于了解复数极点或零点附近根轨迹的变化趋向，便于绘制根轨迹。 设一控制系统的开 环零、极点分布如图 4-8所示。取试验点si, 并使之十分靠近开环 复数极点 ，因而可以 认为开环的零点和其 他极点指向si点矢量 的相角和它们指向点 矢量的相角相等。 图4-8 根轨迹出射角的确定 如果试验点si在根轨迹上，则应满足相角条件，即 式中， 就是根轨迹离开复数极点 的出射角。由上式可知，计算出射角的一般表达式为 (4-30) 同理，可得计算入射角的表达式 (4-31) 当根轨迹与虚轴(imaginary axis)相交时， 表示特征方程式有纯虚根存在，此时系统处于 等幅振荡状态。因而，正确确定根轨迹与虚轴的交点及其相应的参数就显得十分重要。下面介绍两种常用的计算根轨迹与虚轴交点的方法。 (1) 用劳斯判别计算。由上式列劳斯表： 由劳斯表可知，当 时