专题三利用导数研究函数的性质.doc

专题　利用导数研究函数的性质 1． f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件． 2． f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是f′(x)≥0，且f′(x)＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件 对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 1． 已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________． 答案　[e，＋∞) 解析　f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，φ(x)max＝1，故ln a≥1，a≥e. 2． 设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________． 答案　4 解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 当x0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝， 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4. 当x0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－. g(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4， 综上可知a＝4. 3． 若函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋1)，则函数g(x)＝f(logax)(0a1)的单调减区间是__________． 答案　 解析　由f′(x)＝－x(x＋1)≤0，得x≤－1或x≥0， 即f(x)的减区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)， 则f(x)的增区间为[－1,0]． ∵0a1，∴y＝logax在(0，＋∞)上为减函数， 由复合函数单调性可知当－1≤logax≤0， 即1≤x≤时，g(x)为减函数， ∴g(x)的单调减区间为. 4． 直线l与函数y＝3x＋的图象相切于点P，且与直线x＝0和y＝3x分别交于A，B两点，则＝________. 答案　1 解析　设P，则在点P处的切线方程为y－＝(x－x0)，与y＝3x联立解得xB＝2x0，所以＝＝＝1.5． 函数f(x)＝x2－ln x在[1，e]上的最大值为________． 答案　 解析　∵f′(x)＝x－，∴当x∈(1，e)时，f′(x)0， ∴f(x)在[1，e]上是增函数，故f(x)min＝f(1)＝. 题型一　利用导数求函数的单调区间 例1　已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围． 解　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax－1. 当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1， 解之，得a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c. 则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以f(x)的单调增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)； f(x)的单调减区间是. (3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex， 有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex， 因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增， 所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立． 只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)． 探究提高　利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0. ②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解． 设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解　(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2， f′(x)＝ex－1＋xex－x